في هذا اليوم، سنتحدث عن حجم الكرة والأسطوانة. الكرة هي شكل هندسي يتكون من نقاط تبعد بشكل ثابت عن نقطة محددة في الفضاء، وهذا البعد هو نصف القطر. وبالإضافة إلى ذلك، الأسطوانة هي شكل هندسي آخر سنتناوله في هذه المقالة.
تعريف الكرة
- الكرة هي إحدى الأشكال المألوفة في الحياة، وهي أيضا شكل هندسي يتكون من نقاط متباعدة ويتم تجميعها في مركز ثابت يسمى مركز الكرة، ويطلق عليه أيضا الخط المستقيم الذي يربط بين النقاط على سطح الكرة.
- مساحة الكرة ليست مماثلة لمساحة الأسطوانة، حيث تكون مساحة الكرة أقل من مساحة الأسطوانة، ويتم تنظيم ذلك وفقا لقانون مخصص لحجم الكرة.
شاهد أيضًا: معلومات عن الرياضيات هل تعلم
خصائص الكرة
- يتألف الجسم الكروي من سطح واحد، لذا فإن الكرة ليست من الأشكال المتعددة الوجوه، ولا يطلق على سطح الكرة اسم الوجه، حيث أن الشكل الكروي ليس مسطحا.
- الكرة تكون بلا أضلاع ولا جوانب ولا حواف، وليس بها رؤوس ولا زوايا.
- يُعد الجسم الكروي جسم ثلاثي الأبعاد.
- المسافة بين النقاط الموجودة على سطح الكرة ومركزها تكون ثابتة ومتساوية لجميع النقاط على السطح.
- توجد الكرة في العديد من الأماكن بأشكال متعددة، وهذا مألوف للجميع.
تعريف الأسطوانة
- تمثل الأسطوانة ثلاثية الأبعاد شكلا هندسيا مكونا من قاعدتين دائريتين متطابقتين ومتقابلتين، وتتكون عندما يلتف شكل مستطيل أحد أضلاعه بشكل كامل. كما تتميز بمجموعة من الخصائص التي تميزها عن الأشكال الأخرى.
- من أبرز خصائص الأسطوانة أنها لها قاعدة مسطحة، وتكون القاعدة أيضا القمة، لذا فإن القاعدتين متطابقتين، وتحتوي على جانب واحد فقط، على الرغم من أنها منحنية، بالإضافة إلى ميزات أخرى للأسطوانة.
- هناك أنواع مختلفة من الأسطوانات، بما في ذلك الأسطوانة المائلة والأسطوانة القائمة. يتم تحديد ذلك بناء على تعامد الارتفاع. يمكن التعرف على كل منهما عن طريق التالي: تكون الأسطوانة قائمة عندما يكون ارتفاع الأسطوانة متعامدا تماما مع القاعدة.
- أما الأسطوانة المائلة، فهي مشابهة للمنشور، حيث يكون زيادة وجوه المنشور مشبهة للأسطوانة.
حجم الأسطوانة
- الحجم يعرف ككمية المساحة المشغولة بشكل ثلاثي الأبعاد في أي مساحة فارغة، ويوجد وحدات مختلفة لقياسه، بما في ذلك المتر والسنتيمتر ووحدات أخرى كثيرة، وهذا الاختلاف يجعل شكل الأسطوانة مميزا عن الأشكال الأخرى.
- يكون حساب حجم الأسطوانة مشابها لحساب حجم الأجسام المنشورة، حيث تتشابه في خصائصها، وذلك لأن حجم الأسطوانة يتم حسابه عن طريق ضرب المربع الذي يمثل نصف القطر في الارتفاع ومضاعفته بثابت π.
- إجمالي حجم الأسطوانة يساوي نصف قطرها مضروبا في 2، ثم ضربه في الارتفاع وبعد ذلك في ثابت الدائرة.
شاهد أيضًا: كيفية حساب الوزن المثالي بالنسبة للطول والعمر
مساحة الكرة
مساحة الكرة تعادل أربعة أضعاف مساحة الدائرة التي يعود نصف قطرها إليها، وتعادل أيضا طول نصف قطرها، وبناء على ذلك، فإن حساب سطح الكرة هو 4× نق²× ط.
أمثلة على سطح الكرة:
- مثال 1: إذا كان قطر الكرة 7 سم، فإن مساحتها تكون 4 × نق² × ط، أي 4 × (7)² × 3.14 = 615.44 سم².
- مثال 2: إذا كانت كرة طول قطرها حوالي 10 سم، فما مساحتها؟ الحل 4 × نق ط × (5)² = 314 م².
- مثال 3: مساحة سطح الكرة هي 2826 فما هو نصف قطرها؟ الحل: طول نصف القطر = 4 × نق² × ط = 4 × نق² × 3.14 = 2826 ÷ 12.56 = 225. ونصف قطر الكرة يساوي الجذر التربيعي للناتج 225، أي 15 سم.
- يمكننا أن نلاحظ أن حساب سطح الكرة يتطلب معرفة نصف قطرها، وإذا تمت معرفتها، فإن حساب سطح الكرة سيكون سهلا.
- في حالة عدم توفرها، يتم استخدام حبل يلف حول الكرة لقياس محيطها، ومن ثم يتم تقسيم هذا العدد ÷ (2 ط) لنحصل على قيمة نصف القطر.
- إذا تم معرفة النتيجة بشكل أكثر دقة، يجب لف الحبل ثلاث مرات تقريبا، ثم يتم استخدام الوسيط الخاص بعمليات القياس وتقسيمه على (2 ط) لمعرفة القيمة المرتبطة بنصف القطر.
حجم الكرة والأسطوانة
- قانون الكرة الخاص بحجمها = 3/4 × π × نق³، وفيما يتعلق باشتقاقه، فإنه يأتي من العلاقة التي تكون بين حجم الكرة وأيضا حجم الأسطوانة كما ذكرنا سابقا.
- بالنسبة لحجم الأسطوانة، فإنها تساوي ثلاثة مرات حجم نصف الكرة. وبما أن حجم الأسطوانة يساوي نق² × ع، فإن 3.14 = π أو 7/22. وباعتبار أن “ع” هو الارتفاع و “نق” هو نصف قطر الكرة، فإن العبارة تعني 3 × (2/1 × حجم الكرة).
- يمكن استخدام 1.5 بدلا من الكسر 2/3، ويتم ذلك عن طريق ضرب كلا الجانبين من المعادلة في المقام المقابل، وبالتالي يكون الناتج 3/2 × `π × نق² × ع` هو حجم الكرة، وهذا يعني `π × نق² × ع × 2` ÷ 3 هو حجم الكرة.
- إن الارتفاع = 2 نق π ×” نق² × 2 نق × 2″/3 = حجم الكرة”، وهذا يعني أن π × نق²×4 نق) /3 = حجم الكرة، (π ×نق³×4) /3 = حجم الكرة، لذا فإن حجم الكرة يكون 3/4 × π × نق³.
- يمكن أن يتم تجربة سهلة لتوضيح القانون بشكل عملي، وتظهر من خلالها العلاقة بين حجم الكرة وحجم الأسطوانة من خلال عدد من الخطوات السهلة التي يجب اتباعها، ومن خلالها يمكن الوصول إلى القانون الخاص بحجم الكرة.
- خطوات قانون حجم الكرة هي، تتضمن جلب الجسم الأسطواني مع كرة مفرغة من الداخل، ويكون ارتفاع الأسطوانة مضاعفا لقطر الكرة الموجودة، كما يكون نصف قطر الكرة مساويا لنصف قطر الأسطوانة.
- تتم تقسيم الكرة الفارغة في الداخل إلى نصفين متطابقين تماما، ويتم ملء نصف الكرة بكمية كبيرة من الرمل، ويتم تفريغ كمية منه في الأسطوانة، وتكرار الخطوات لملء الأسطوانة بالكامل بالرمل.
- بعد استكمال هذه الخطوة بشكل كامل، ستتوصل إلى استنتاج أن الأسطوانة قد تم ملؤها ثلاث مرات بعد ملء نصفها بالكرة. وبمعنى آخر، فإن الأسطوانة تحتاج إلى ثلاثة أضعاف الكمية من الرمل الموجود في نصف الكرة. وهذا يشير إلى أن الأسطوانة أكبر من الكرة.
معلومات أخرى عن الكرة
- حجم الكرة يتم تحديده بعدد معين من الوحدات المكعبة الموجودة داخلها، ويمكن حساب حجم الكرة باستخدام العلاقة 3/4 × π = 4.19، بالتالي فإن حجم الكرة = 4.19 × نق3، وهذه العلاقة تم اكتشافها من قبل أرخميدس، الفيلسوف اليوناني، قبل حوالي ألفي عام.
- اكتشف أرخميدس أن حجم الكرة يساوي ثلث حجم الأسطوانة، حيث يكون محيطها مثل محيط الكرة.
- يتم حساب حجم المرة بواسطة وحدات قياس الطول المكعبة، حيث يتم ضرب وحدة الطول بوحدات الطول الأخرى بالشكل المحدد، ويمكن استخدام أي وحدات طول متاحة في أي نظام قياس للحجم.
- يتم قياس الحجم بوحدة معينة، عندما يتم قياس نصف القطر باستخدام المتر المكعب والمليمتر المكعب، بالإضافة إلى وحدة نصف القطر التي تكون بالسنتيمتر والقدم والمتر.
شاهد أيضًا: كيفية معرفة حجم كرت الشاشة
في نهاية مقالنا حول حجم الكرة والأسطوانة، حيث تعتبر الكرة والأسطوانة من الأشكال الهندسية المعروفة في الرياضيات والتي يتم دراستها لجميع الطلاب في مراحل دراسية مختلفة، لذا نأمل أننا قد تناولنا الموضوع بشكل يفيد الطلاب ونحن في انتظار مشاركاتكم.
