في بحثنا عن المصفوفات وأنواعها، نجد أن علم الرياضيات بشكل عام هو من العلوم التسلسلية التي تسعى دائما للتقدم، فهو علم تراكمي يعتمد بشكل كبير على تاريخه.
يعتمد على العلاقات الهندسية والرقمية. الرياضيات ليست مجرد مهارات حسابية، بل هي أداة تستخدم بشكل دائم في مختلف مجالات الحياة اليومية.
مقدمة بحث عن المصفوفات وأنواعها
كما ذكرنا سابقا في مجال الرياضيات كعلم، يمكننا الحديث عن المصفوفات التي تعتبر جزءا هاما من هذا العلم، حيث لها علاقة بالعديد من المجالات الحيوية في حياتنا اليومية، حيث يتم استخدامها بشكل مستمر في جميع المجالات الحياتية.
تتكفل العديد من الأنظمة الاقتصادية في العالم بهذه القضية، وتتمتع بمجموعة من الخصائص، بالإضافة إلى وجود العديد من النظريات التي توضح وجودها وكيفية استخدامها.
وأيضا يوضح تلك النظريات ما هي الخصائص المميزة للمصفوفات، وسيتم توضيح ذلك في سطور بحث حول المصفوفات وأنواعها.
شاهد أيضًا: بحث عن زوايا المضلع في الرياضيات
ما هي المصفوفات؟
- المصفوفة هي مجموعة مستطيلة تحتوي على أرقام، وليست فقط الأرقام .
- قد تكون عبارة عن مجموعة مستطيلة من الرموز الرياضية المختلفة الأخرى.
- ويتم تحديد العمليات الرياضية مثل الجمع والطرح والضرب داخلها.
- المصفوفة الأكثر استخداما وشيوعا في علم الرياضيات هي تلك المصفوفة المرتبطة بالرمز س.
- وتتكون من مجموعة مستطيلة من القياسات.
- وكل هذه المصفوفات تعتبر أعضاء في س ، وهذا يعني أن هذه العناصر.
- العناصر داخل المصفوفة يمكن أن تكون إما أرقام حقيقية أو أرقام معقدة.
- ويتم تعبير الأرقام الموجودة داخل المصفوفة أو الرموز أو التعبيرات بأنها إدخالات أو يمكن تسميتها عناصر.
- وتسمى الخطوط الأفقية للمدخلات داخل المصفوفة بأسماء الصفوف.
- تسمى الخطوط العمودية للإدخالات أيضا بالأعمدة، وكل منهما يحتوي على العناصر سواء كانت أرقاما أو رموزا.
العمليات الرياضية للمصفوفات
- يمكن تنفيذ العديد من العمليات الرياضية على المصفوفة، سواء داخل نفس المصفوفة أو بين مصفوفتين.
- يمكن تنفيذ العديد من العمليات الرياضية مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح.
- يمكن إجراء عدة عمليات رئيسية على المصفوفات لتعديلها، وباستخدام هذه العمليات، تصبح هذه المصفوفات مصفوفة الجمع.
- يمكن أن تكون مصفوفة الضرب العددية، أو مصفوفة الانعكاس، أو مصفوفة عمليات الصفوف، أو ضرب المصفوفة.
ضرب المصفوفات
- يشير ضرب اثنين من المصفوفات إلى الحالة التي يكون فيها عدد أعمدة المصفوفة الأولى متساويا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
- على سبيل المثال، إذا كانت هناك مصفوفة س تتكون من ضرب مصفوفتي أ وب، ومصفوفة ص تتكون من ضرب مصفوفتي ب وج.
- ناتج ضرب المصفوفتين يكون المصفوفة (س ص).
- حيث تكون هي عبارة عن نقطة وتدخل كإدخالات في صورة منتج من الصف المقابل في المصفوفة س، وتتطابق مع العمود في المصفوفة ص.
- من خلال ذلك، نستنتج أنه لا يمكن ضرب مصفوفتين ما لم تكن لهما نفس الحجم.
- بمعنى أن يكون لكل منهما نفس عدد الصفوف وعدد الأعمدة الموجودة في كل منهما.
- يمكن أيضا إضافة مصفوفتين معا أو تنفيذ عملية الطرح بين العناصر، وذلك بناء على القاعدة المعتمدة في ضرب المصفوفات.
- وفي هذه الحالة، لا يجوز ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
- لا يمكن ضرب المصفوفات إلا إذا كانت الأبعاد الداخلية للمصفوفتين متطابقة.
- إنها نفسها حيث يكون (أب) بالنسبة للمصفوفة ب، و(بج) هي المصفوفة التي يتم ضربها بأ.
- المصفوفة لا تكون قابلة للتبديل في الاتجاه العكسي، مما يشير إلى عدم تبادلية تكاثر المصفوفات.
- يمكن أن يحدث تضاعف لأي مصفوفة.
- يمكن أن يتم ذلك عن طريق القيمة العددية للصف، أو من خلال العمود المقابل في عملية الضرب.
- وهذا هو ما سنتعرف عليه من خلال مضمون بحث حول المصفوفات وأنواعها.
عمليات الصف
تتوفر العديد من أنواع الصفوف، ويمكن تصنيفها في ثلاثة أنواع كالتالي:
- إضافة صف؛ وهذا يعني أنه سيتم إضافة صف إلى صف آخر.
- ضرب الصف، حيث يتم ضرب جميع إدخالات وعناصر الصف باستخدام عامل ثابت غير صفري.
- تغيير الصف؛ حيث يتم تبديل صفين في المصفوفة.
- تستخدم عمليات الصف في عدة أشكال مختلفة، حيث يمكن استخدامها في حل المعادلات الخطية، أو في إيجاد المصفوفات العكسية.
استخدام عمليات الصف في المعادلات الخطية
يمكن استخدام نظام المعادلات الخطية في المصفوفات، ويمكن أيضا استخدامه مع مجموعة من المعادلات الخطية.
على سبيل المثال، إذا كانت س هي عبارة عن مصفوفة (أب)، يمكننا تحديد متجه عمودي وهو مصفوفة (ب1) للمتغيرات ب 1X و2X وب X، وس هو (س- X 1) ناقل العمود، ثم نقوم بحل المعادلة المصفوفة.
أنواع المصفوفات
هناك أنواع كثيرة للمصفوفات؛ فمن أنواع المصفوفات في الرياضيات ما يلي:
- المصفوفة المربعة: وتكون مصفوفة عادية يكون عدد الصفوف فيها متساويا عدد الأعمدة.
- المصفوفة المستطيلة: هي مصفوفة عادية، حيث يكون عدد الصفوف أكبر من عدد الأعمدة أو عكس ذلك.
- والمصفوفة الواحدية: وتكون المصفوفة الواحدية عبارة عن مصفوفة مربعة تحتوي على جميع العناصر.
- المواد الموجودة داخلها متساوية للصفر في جميع النواحي، باستثناء القطر الرئيسي حيث يكون مختلفا.
- المصفوفة القطرية: تكون المصفوفة مربعة، وجميع العناصر الواقعة في داخلها متساوية للصفر، وتتميز بقيم مختلفة لعناصر القطر الرئيسي.
- المصفوفة الثلاثية العليا: وهي مصفوفة مربعة، حيث تكون جميع المدخلات الموجودة تحت القطر الرئيسي مساوية للصفر، والمدخلات الموجودة في القطر الرئيسي وأعلى منها تكون لها قيم مختلفة.
- والمصفوفة الثلاثية الدنيا: إنها مصفوفة مربعة ولكن بترتيب معكوس للمصفوفة العلوية الثلاثية.
- حيث تكون جميع العناصر في داخلها أعلى من القطر الرئيسي مساوية للصفر، وعناصر القطر الرئيسي ومدخلاته التي تحتها لها قيم مختلفة.
- المصفوفة القطرية: وهنا تكون المصفوفة القطرية مكونة من مصفوفة مربعة تحتوي على عناصرها صفر.
- ولكن عناصر القطر الرئيسي لها قيم مختلفة.
- مصفوفة العامود: تكون مصفوفة مستطيلة تحتوي على عدد أعمدة يساوي واحد.
- ومصفوفة الصف: تكون عبارة عن مصفوفة مستطيلة يكون عدد صفوفها مساويا لواحد، وهي عكس مصفوفة العمود.
هناك أنواع أخرى أيضا للمصفوفات، وسنذكرها بالتفصيل في بحثنا عن المصفوفات وأنواعها، وسنعرضها في الفقرات التالية لهذا البحث.
شاهد أيضًا: بحث عن الأعمدة والمسافة في الرياضيات
مصفوفة قطرية وثلاثية
- في هذه المصفوفة، على سبيل المثال، إذا كانت جميع المدخلات، ولنفترض أنها تمثل بواسطة س، الموجودة تحت القطر الرئيسي تساوي الصفر، فإنها تعتبر مصفوفة مثلثية علوية.
- أيضا، إذا كانت جميع المدخلات س توجد فوق القطر الرئيسي وتساوي الصفر، فإن س تكون مصفوفة مثلثية سفلية في هذه الحالة.
- إذا كانت جميع المدخلات الموجودة خارج القطر الرئيسي مساوية للصفر، فإن المصفوفة س تكون في هذه الحالة مصفوفة قطرية.
مصفوفة الهوية
- وتكون المصفوفة ب هي مصفوفة الهوية بنفس الحجم، وتمثل ضرب المصفوفة (ب*ب).
- حيث جميع العناصر الموجودة فيها في القطر الرئيسي متساوية للواحد، وجميع العناصر الأخرى متساوية للصفر.
مصفوفة التماثل
- هذه المصفوفة تكون متماثلة مربعة س، والتي تساوي مرتبتها، وهذا يعني أن سT=س، فهي مصفوفة متماثلة.
- إذا كان س يمثل رقما سالبا، فيتم نقله، ويصبح س مصفوفة متماثلة الانحراف.
- في المصفوفات المعقدة، يتم استبدال التماثل بمفهوم المصفوفات الهرمية، وفي هذا يكون *س=س.
- وتعني النجمة هنا التحويل المتزامن الذي يحدث في المصفوفة، أي يتم تبديل العمليات المعقدة للمصفوفة بسهولة.
- ووفقا للنظرية الطيفية، فإن المصفوفات المتماثلة الحقيقية والمصفوفات الهرمية المعقدة تتمتع بما يعرف بمتلازمة القاعدة الفريدة.
- وهو يعني أن كل ناقل يكون مزيجا خطيا من المتجهات الذاتية.
- في كل الحالات، سواء كانت متماثلة حقيقية أو هرمية معقدة، فإن جميع القيم الذاتية تكون حقيقية.
- تطبق هذه النظرية على جميع المصفوفات التي تحتوي على عدد لا نهائي أو غير محدود من الصفوف والأعمدة.
- فيما يتعلق بالمصفوفة المتماثلة، تكون موجبة ومحدودة، في حالة أن جميع القيم الذاتية الموجودة في المصفوفة إيجابية.
- وهذا يعني أن المصفوفة في هذا الحالة تكون إيجابية وتقترب من الانتهاء، وكذلك تكون قابلة للانعكاس.
المصفوفة المقلوبة
- يمكن أيضا أن يطلق على المصفوفة المعكوسة اسم المصفوفة العكسية، أو المصفوفة المربعة سي معكوسة.
- أو يمكن أن لا تكون مفردة في حال وجود مصفوفة من هذا النوع، حيث ص س= س ص=ب|.
- تعتبر مصفوفة هوية بحجم (ب*ب) على القطر الرئيسي أو في مكان آخر، وإذا كانت المصفوفة ص موجودة.
- فتصبح مصفوفة فريدة من نوعها وتسمى مصفوفة عكسية لس أو س-1.
المصفوفة المتعامدة
تكون المصفوفة المتعامدة عبارة عن مصفوفة مربعة يكون مدخلاتها أو عناصرها حقيقية، وأعمدتها وصفوفها تكون متجهات متعامدة وحدة.
بمعنى أن أعمدتها وصفوفها تكون تشير إلى متجاهات متعامدة، وتكون المصفوفة س متعامدة إذا كان التبديل للمصفوفة متساويا للمصفوفة المعكوسة.
استخدامات المصفوفات
يتم استخدام المصفوفات في العديد من المجالات العلمية، مثل:
يمكن استخدامه في جميع فروع الفيزياء وجميع فروع الميكانيكا بما في ذلك الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكهرومغناطيسية والديناميكا الكهربائية الكمية.
تستخدم المصفوفات لدراسة مختلف الظواهر الفيزيائية، ومن بين هذه الظواهر التي تساعد المصفوفات على دراستها حركة الأجسام الصلبة.
دراسة المصفوفات تساعد في تبسيط الحسابات بجوانبها النظرية والعملية.
يمكن استخدام المصفوفات في مجال الاقتصاد، حيث تستخدم لوصف أنظمة العلاقات الاقتصادية.
ويمكن أيضا استخدامها في حساب التفاضل والتكامل المصفوفي، مثل الاشتقاقات والأسس إلى أبعاد أعلى.
يمكن استخدامه في نظرية الاحتمالات، والإحصاءات، ومن الممكن استخدام مصفوفات عشوائية في وصف طرق لتمثيل مجموعات محتملة، على سبيل المثال يمكن استخدامها في خوارزمية تصنيف الصفحات التي تدخل في بحث Google.
يمكن استخدامها في مجال الكمبيوتر من الرسومات، ويمكن أن تستخدم في معالجة النماذج ثلاثية الأبعاد، كما تساعد في عرض تلك الرسومات على شاشة ثنائية الأبعاد.
تدخل المصفوفات اللانهائية في نظرية الكواكب، وأيضا النظرية الذرية، ومثال على المصفوفة اللانهائية هو المصفوفة التي تتكون من عامل مشتق.
للمصفوفة العديد من الاستخدامات في حياتنا اليومية، حيث تعتبر أساسية وضرورية في المجال الرياضي، كما يوضح ذلك البحث عن المصفوفات وأنواعها.
كيفية حساب المصفوفة
من الممكن حساب المصفوفة بواسطة تقنيات متنوعة، حيث تستخدم في حل العديد من المشكلات بشكل مباشر عن طريق الخوارزميات أو المنهج التكراري.
وأيضا من خلال الاتجاهات الذاتية للمصفوفة المربعة يمكننا الوصول إلى تسلسل للقيم، ويحدث ذلك عندما تقترب الصفوف وتتجه نحو الاتجاه الذاتي عندما تميل قيم الصفوف إلى اللانهاية.
ويجب أيضا اختيار الخوارزمية المناسبة لحل مشكلة محددة، من خلال تحديد فعالية ودقة جميع الخوارزميات المتاحة.
لحساب معكوس المصفوفة
يتم حساب مصفوفة محددة والتأكد من أنها لا تساوي صفرا.
يتم حساب المصفوفة المرتبطة.
ثم بعد ذلك يتم حساب المعكوس.
خواص معكوس المصفوفة
ناتج ضرب معكوس لضرب مصفوفتين غير شاذتين يكون مساويا لناتج ضرب معكوس كلا من المصفوفتين.
مصفوفة التدوير المعكوس تكون مساوية لمصفوفة التدوير المعكوسة.
العمليات على المصفوفات
الجمع
خاصية الجمع في المصفوفات تتمتع بالإبدال، حيث إذا كانت هناك مصفوفتان س و ص بنفس الحجم، في هذه الحالة يتم تحقيق الإبدال بحيث س + ص = ص + س، وبالتالي، لا يتطلب عملية الجمع ترتيب العناصر.
الدمج
في حالة وجود ثلاثة مصفوفات س وص وع متساوية الحجم، يتم تحقيق علاقة الدمج والتي تكون كالتالي:
س + (ص+ع) = (س+ع) + ص
هذه الخاصية توضح أنه يمكن جمع أكثر من مصفوفتين في نفس الفضاء، ولكن الترتيب غير مهم.
وجود المحايد الجمعي
يعتبر المحايد الجمعي ذلك العنصر الذي إذا تمت إضافته إلى عنصر آخر، لا يحدث أي تغيير في قيمة العنصر الأخير.
المصفوفة الصفرية هي التي تؤدي هذا الدور في المصفوفات، والعنصر النيوترالي بالنسبة للأعداد هو العنصر الوحيد وهو الصفر، وتختلف المصفوفة الصفرية وتتغير باختلاف البعد.
وجود المعكوس الجمعي
المعكوس الجمعي في علم الجبر يكون عند جمع عنصر ما مع عنصر آخر ينتج المحايد الجمعي.
يشير المصطلح `المحايد الجمعي` في المصفوفات إلى مصفوفة أخرى في نفس المجال، ولكن بإشارة مختلفة لجميع العناصر الموجودة داخل المصفوفة.
شاهد أيضًا: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات
خاتمة بحث عن المصفوفات وأنواعها
وفي الختام مناقشتنا للمصفوفات وأنواعها، نكون قد انتهينا من التحدث عن طبيعة المصفوفات وكيفية استخدامها وخصائصها، وما هي أنواعها وكيفية حسابها. نتمنى أن يكون البحث شاملا وشافيا.
