موضوع حول التعبير عن الأعداد الأولية

موضوع التعبير حول الأعداد الأولية، الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي تكون أكبر من الواحد ولا يمكن قسمتها على سواها وعلى الواحد فقط. يمكن تسمية أي عدد طبيعي أكبر من الواحد وليس أوليا بأنه عدد مركب.

فمثلًا: الرقم الخامس هو رقم أولي حيث يمكن قسمته على الواحد وعلى الخمسة، أما الرقم السادس فهو عدد مركب يمكن قسمته على الواحد والاثنين والثلاثة والستة.

يمكن أن يكون البرهان الأساسي في الحسابات هو الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد، حيث يمكن أن يكون أي عدد صحيح طبيعي أكبر من واحد مجموعة وحيدة من الأعداد الأولية.

هذا يمكن أن يغني عن ترتيب هذه الأعداد ضمن هذه المجموعة، وبالتالي يجب على هذا البرهان أن يتطلب رقما واحدا من قائمة الأعداد الأولية.

مقدمة موضوع تعبير عن الأعداد الأولية

• الأعداد الأولية هي مجموعة من الأعداد غير المنتهية، حيث يمكن تحديد العدد بطريقة سهلة وبسيطة، ولكن هذه الطريقة تكون بطيئة.
  • تسمى هذه العملية أيضا القسمة المتكررة، وتتضمن قسمة هذا العدد على أعداد محددة سابقا.
  • بين عددين وجذر العدد المحدد، يمكن أن توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية في القسمة.
• يتم استخدامها في العمل على تحليل الأعداد الكبيرة، خاصة عندما يكون ذلك مرتبطا بأعداد ذات هيئة خاصة مثل الأعداد الأولية لميرسين.
  • في يوم 21 ديسمبر عام 2018، تم تحقيق أكبر عدد أولي في وقت واحد.
  • تم الوصول إليه من خلال الرقم 840.268.42، وفي هذا المقال سنقدم لك العديد من المعلومات حول الأعداد الأولية.

شاهد أيضًا: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات

الأعداد الأولية

• تعد مجموعة الأعداد الأولية مجموعة منتهية، وقد راهن أقليدس على ذلك. ففي العام ثلاثمائة قبل الميلاد، لم يحدد تعريف صيغة محددة لكل قيمة تمثل عددا أوليا.
•  قد تخضع توزيع الأعداد الأولية للدراسة وتكون محاطة بالنظريات، وهناك برهان قد يكون متعلقا بهذا الجانب وهو برهان الأعداد الأولية.
•  تمت إثباتها في أواخر القرن التاسع عشر، ومن المحتمل أن تكون عددا طبيعيا، وتم اختيارها بشكل عشوائي.
•  قد يكون هذا متناسبا بشكل عكسي مع عدد الأرقام الموجودة في هذا العدد، أو قد تكون هذه الأعداد متناسبة بشكل عكسي مع اللوغاريتم الطبيعي للعدد n.
• إذ تم وضع الأعداد الأولية تحت اختبارات وأبحاث متعددة، فقد يكون هناك العديد من الأسئلة الرئيسية.
  • مثل: فرضية ريمان وفرضية غولدباخ تشيران إلى أن الأعداد الزوجية هي الأكبر بين أعداد الرقم 2.
• من الممكن تمثيله على شكل مجموعة من الأعداد الأولية، وتخمين أعداد التوأم الأولية.
  • ويمكن أن يعني ذلك أن عدد الأزواج يعتبر عددا أوليا وأن الفرق بينهما يكون مساويا للعدد اثنين.
•  هو عدد لا ينتهي، حيث لا تزال هناك مسائل لم تحل حتى الآن، على الرغم من مضي أكثر من قرن على وجودها.
•  والسبب الأساسي لذلك يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية.
  • فكانت هذه الصعوبات هي سببا في تطورات عديدة شهدتها نظرية الأعداد، ويتم استخدام الأعداد الأولية في العديد من المجالات في تكنولوجيا المعلومات.
  • مثل: التشفير بواسطة استخدام المفتاح المعلن يعتمد بشكل أساسي على خصائص محددة مثل صعوبة عملية ضرب الأعداد الكبيرة فيما بينها للحصول على الأعداد الأولية.

تعريف وأمثلة

• العدد 21 هو عدد غير أولي، حيث يمكن ترتيبه كعنصر في مجموعة من الأعمدة المتساوية، حيث يحتوي كل عمود على أربعة عناصر، وهذا يشكل نمطا واحدا بين الأنماط الأخرى.
•  قد لا يكون ترتيب هذه العناصر (11 عنصرا) في أعمدة متساوية، إذ قد يكون طول كل عنصر أكبر من واحد.
  • بشكل عام، يمكن أن يكون ذلك عددا إضافيا، ويكون العدد الطبيعي بطرق مختلفة، فإذا كانت تلك الأعداد منفصلة بالتأكيد .
  • فالعدد نفسه، فالأعداد الطبيعية الأكبر بالتأكيد أكثر من واحد والأعداد غير الأولية يمكن أن تسمى أعدادا مركبة .
  • ويجب ألا يتم مزج ذلك مع الأعداد المركبة، والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية.

 أمثلة

• من الممكن أن تكون من بين هذه الأعداد الطبيعية التي تقتصر بين الرقم واحد وستة، الأعداد الأولية اثنين وثلاثة وخمسة.
  • بالنسبة للأعداد واحد وأربعة وستة، فهي أعداد غير أولية وتمثل أقصى الواحد في قائمة الأعداد الأولية.
  • العدد اثنان هو عدد أولي، حيث أن القاسمين الوحيدين له هما واحد واثنان ذاتهما، وثلاثة أيضا عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين.
  • هما واحد وثلاثة نفسه، عند قسمة ثلاثة على اثنين يكون الباقي واحدا.
• إذا، ثلاثة هو عدد أولي، وأربعة هو عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى واحد وأربعة، يمكن قسمهما، وعدد اثنين يمكن قسمته على أربعة ويكون الناتج 2.2، وعدد خمسة هو عدد أولي.
  • يمكن أن يكون العددان 2 و 3 و 4 غير قابلين للقسمة، وستة هو عدد غير أولي لأنه يمكن قسمه على 2 و 3، إذا ستة تساوي ثلاثة مضروبة في اثنين.
• في جميع الأعداد الأولية، باستثناء اثنين وخمسة، يمكن أن تنتهي بالأرقام واحد وثلاثة أو سبعة أو تسعة، حيث تنتهي جميع الأعداد التي تنتهي بصفر.
  • إما واحدا، أو اثنين، أو أربعة، أو ستة، أو ثمانية، فهذه الأعداد هي مضاعفات للرقم اثنين.
  • لا تكون الأعداد الزوجية بالضرورة أعدادا أولية، وعندما تكون الأعداد خمسة، فإنها لا تكون أعدادا أولية بالتأكيد.

الأعداد الأولية من ١ إلى ١٠٠ والتي هي أقل من ألف هي التالية:

2،3،5،11،31،71،91،32،92،13،73،14،34،74،35،95،16،76،17،37،97،38،98،79،101،301،701،901،311،721،131،721،131،731،931.

941،151،751،361،761،371،971،181،191،391،791،991،112،322.

722،922،332،142،152،752،362،962،172،772،182،382،392،703،113،313،713،133،733،743،943،353،953،763،373،973،373،973.

383،983،793،104،904،914،124،134،334،934،344،944،754،164،364.

764،974،784،194،994،305،905،125،325،145،745،755،365،965،175،775،785،395،995،106،706،716،916،136،146،346،356،166.

376،776،386،196،107،907،917،727،337،937،347،157،757،167.

967،377،787،797،908،118،128،328،728،928،938،358،758،958،368،778،188،728،938،358،758،958،368،778،188،388،788.

709،119،919،929،739،149،749،359،769،179،779،389،199،799،

فعادة يستخدم الرمز p للإشارة لمجموعة الأعداد الأولية.

شاهد أيضًا: بحث رياضيات عن ضرب العبارات النسبية وقسمتها ثاني ثانوي

الأعداد الأولية

• قد تعود أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات بشكل عام إلى المبرهنة الأساسية في حساب الأعداد.
  • ويمكن أن تكون الطريقة أن كل عدد صحيح موجب أكبر من واحد يمكن كتابته على شكل جداء.
• أي أنه يتم ضرب العدد الأولي، مثل الرقم واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية، وتكون هذه المجموعة فريدة.
  • من الممكن أن نعتبر الأعداد الأولية هي الأساس الذي تم بناء الأعداد الطبيعية عليه.
  • فعلى سبيل المثال: 44232= 2.2.3.31.941= 2 تربيع.3.31.941.

وفي هذا المثال: 3×7=12

في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي عدة مرات، ويطلق على هذه العملية تحليل العدد n إلى عوامله الأولية. يمكن إعادة صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابات على النحو التالي:

• يتم تحليل العدد الصحيح إلى أعداد أولية منفصلة، عن طريق ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل.
  • تختلف الخوارزميات في سبيل الوصول إلى هذا التحليل، ولكن النتيجة تكون واحدة ولا تعتمد على الخوارزمية المستخدمة.
  • إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم b × a، فإنه يقسمه لعددين طبيعيين a و b.
  • سيتم قسمته بشكل جداء، حيث يمكن تقسيمها إلى جزءين أو قسمة b.
•   قد تطلق على هذه الخاصية اسم `موضوعة` في الرياضيات، حيث يمكن استخدامها في بعض الأدلة على تحليل الأعداد الصحيحة إلى ضرب عددين أوليين.

هل العدد واحد هو من الأعداد الأولية؟

• معظم الإغريق لم يعتبروا العدد واحد عددا، ولذلك لم يعتبروه عددا أوليا، ولكن ذلك كان في القرن التاسع عشر.
  • سيتم اعتبار هذا العدد عددا أوليا من قبل مجموعة من علماء الرياضيات.
  • فمثلًا: قام ديريك نورمان بإنشاء قائمة تحتوي على الأعداد الأولية الأصغر من 127،600،01.
  • وهي التي طبعت لآخر مرة في عام ألف وتسعمائة وستة وخمسين.
•  ابتداء من الرقم واحد إلى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون الواحد عددا أوليا.
• في ذلك الوقت، كان تعريف الأعداد الأولية يشير إلى أي عدد لا يمكن قسمته على أي عدد آخر سوى الواحد ونفسه.
  • يقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات يعتبر عددا أوليا.
• على الرغم من أن الجزء الكبير من الأعمال في مجال الرياضيات قد يكون صحيحا، إلا أنه يعتبر العدد الأولي رقم واحد.
• ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تكون صحيحة، فمثال على ذلك: العدد 15 يمكن أن يكون مضاعفا لـ 3 × 5 أو 1 × 3 × 5.
• إذا كان عدد واحد أولي، فيمكن أن يكون هاتان الصورتان الاثنتان مختلفتين عن بعضهما، وهذا يتنافى مع المبرهنة الأساسية بشكل غير صحيح.
  • فالأعداد الأولية هي مجموعة من الصفات التي لا تمتلكها العدد واحد.
  • هذا يشمل العلاقة بين قيمة مؤشر أويلر وعدد معين، أو بين مجموع القواسم وعدد معين.

التاريخ

• من الممكن أن يتم العثور على جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي، إذ كان غربال اراتوستينس خوارزمية.
  • تم ابتكار ذلك في القرن الثالث قبل الميلاد من قبل إراتوستينس، وهو رياضي يوناني قديم.
•  قد تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى مفهوم قدماء المصريين للأعداد الأولية: يقومون بتحليلها إلى كسر مصري.
  • ويتم ذلك بتغيير الشكل عند تطبيق الأعداد الأولية بشكل مختلف عند تطبيقها على الأعداد غير الأولية.
• وعلى الرغم من ذلك، فإن الإغريق القدماء ربما كانوا أول من أجروا دراسات جادة في هذا الشأن.
• قام العالم اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية.
  • وعلى الرغم من عدم وجود أي من المخطوطات التي لم يشير إليها علماء آخرون.
  • لم يحدث الكثير بعد الإغريق فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية إلى القرن السابع عشر.
• في عام ألف ستمائة وأربعين، أثبت بيبر دي فيرما فرضية فيرما الصغرى.
  • وذلك دون تقديم أي دليل عليه، تم تأكيدها لاحقا من قبل لايبنتز وأويلر.

التاريخ

•  إنها حالة خاصة من مبرهنة فيرما التي قد تكون تعرفت عليها من قبل الصينيين من خلال استنتاج فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية يمكن تمثيلها على شكل 1+2تربيع.
  • وبالتالي، تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما لأنها أعداد أولية ويمكن تحقيق ذلك حتى الحد الذي يساوي 4 = ن.
•  ومع ذلك، إنها عدد فيرما، يكون عبارة عن عدد يتكون من عوامله الأولية 146، وتم اكتشاف ذلك بواسطة أويلر في وقت لاحق.
  • في الوقت الحالي ليس لديه معرفة بأعداد أولية وما يكتب على شكل أعداد فيرما.
• درست الكنيسة الفرنسية مارين ميرسين الأعداد الأولية بالشكل المذكور حتى يكون العدد p عددا أوليا.
  • تسمى هذه الأعداد أعداد ميرسن الأولية تكريما له.
• وتضم عمل أويلر في نظرية الأعداد مجموعة من النتائج المتعلقة بالأعداد الأولية.
  • لقد تم إثبات أن المتسلسلة غير المنتهية نصف + ثلث + خمس + سبعة هي متسلسلة متباعدة.
  • سيحدث ذلك في عام 1747، وقد تم تأكيده أن الأعداد المثالية الزوجية هي التي تكون بالضبط الأعداد الطبيعية.
• في عام 1951، اعتبرت الأعداد الأولية الكبيرة الموجودة بسبب الحاسوب.

عدد الأعداد الأولية

• هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التي توزع بشكل غير منتظم، ومن بين هذه الأعداد المتسلسلة 2، 3، 5، 7، 11، 31.
  • فلا تنتهي أو تتوقف، ويطلق عليها هذا البرهان اسم برهان أقليدس تكريما للعالم الشهير.
  • في الرياضيات الإغريقية، كان أقليدس هو من قام بأول برهان معروف وشهير.
• فقد يعرف حاليا براهين أخرى للانهائية للأعداد الأولية ومنها برهان غولدباج.
  • ويستند ذلك على أعداد فيرما وبرهان فورشتنبرغ، باستخدام الهندسة العامة وبرهان كومر الأنيق.

برهان أقليدس

• إثبات أقليدس يعتبر مجموعة محدودة من الأعداد الأولية حتى s.
• حيث أن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جمع كل هذه الأعداد التي تمت إضافة واحد إليها.

اختبار أولي لعدد ما وتحويل الأعداد الطبيعية

• قد يوجد العديد من الاختبارات المعروفة التي يتم تحديدها لمعرفة ما إذا كانت تشكل عددا محددا وإذا كانت عددا أوليا أم لا.
• أبسط هذه الطرق هي القسمة المتكررة، ولكن هذه الطريقة غير مجدية وغير فعالة لأنها بطيئة للغاية.

عن طريق القسمة المتكررة

• هو الأسلوب الأكثر بساطة وسهولة، ومن هنا تم تسميته بالقسمة المتكررة.
  • والفكرة تكمن في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر والأصغر.
  • من جذر العدد n، إذا لم يتم إنتاج أحد هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس عددا أوليا.
•  إذا كانت العلاقة بين b و a هي b×a=n وكانت هذه العلاقة عددا مركبا، فإن الأعداد الطبيعية a و b قد يختلفان عن الواحد.
  •  نظرا لأن العدد الأدنى من هاتين العددين قد يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي لـ n، على سبيل المثال إذا كان 73=n.
  • حيث يمكن أن تطبق القسمة المتكررة على الأعداد الطبيعية 2، 3، 4، 5، 6.
  • لا يقسم العدد الذي يليه هذه الأعداد على العدد سبعة وثلاثين، حيث إن العدد سبعة وثلاثين هو عدد أولي.
• تطورت هذه العملية لتصبح أكثر فعالية وسرعة.
  • وذلك لأن النظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المحدد.
  • على سبيل المثال، فيما يتعلق بالعدد سبعة وثلاثين، يكفي أن ننظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5.
  • ويجب تجنب النظر إلى الأعداد 4 و 6، حيث أنهما ليستا عددين أوليين.

الغرابيل

• يمكن لجميع الخوارزميات أن تجد أصغر الأعداد الأولية بسهولة، ويسمى هذا العملية بالغربلة.
• مثالا على ذلك هو غربال إراتوستينس الذي يستخدم فقط للأعداد الصغيرة، ولكن هناك غربال أتكين الأحدث منه.
• ومع ذلك، فإنه أكثر تعقيدا وأسرع، ويمكن استخدام نظرية الغرابيل بطرق مشابهة للتغلب على عقبات أخرى.

خصائص الأعداد الأولية

هناك خصائص للأعداد الأولية ومنها:

• أن كل عدد صحيح أكبر من n له قسمة أولية.
• إذا كان الفرق بين عددين أوليين يكون مساويا لـ 2، فإن هاتين الأعداد تسمى توأما أوليا، مثلا 5 و 7.
  • الأرقام 11 و 31، من ناحية أخرى، هما توأمان أوليان، وهذا يسمى توأمية العددين الأوليين.

شاهد أيضًا: بحث عن التطابق للصف الاول الاعدادى doc

خاتمة موضوع تعبير عن الأعداد الأولية

في ختام هذا البحث، قد تم لنا تعرف على الأعداد الأولية ومفهومها، وخصائص الأعداد الأولية، ومفهوم الغرابيل، ومفهوم القسمة المتكررة، ونأمل أن يكون قراءتكم ممتعة.