أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات

أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات، إذا طلب منك تبسيط شيء مثل `4 + 2 × 3`، فإن السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو: ما هي الطريقة التي أفعل بها هذا؟ لأن هناك خياران!

حيث يمكنني أن أضيف أولاً فتصبح النتيجة: 4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18، أو يمكنني الضرب أولاً فتصبح النتيجة: 4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10، فما هو الجواب الصحيح؟ تابعوا موقع مقال للتعرف على أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات.

أولويات العمليات الحسابية

يبدو أن الإجابة تعتمد على النظرة إلى المشكلة، ولكن ليس لدينا هذا النوع من المرونة في الرياضيات.

لن تتمكن من حل المسائل الرياضية إذا لم تكن متأكدا من الإجابة، أو إذا كان من الممكن حساب نفس التعبير بدقة.

لكي تتمكن من الوصول إلى إجابتين أو أكثر مختلفتين، يجب أن تتفق جميعها على النتيجة.

لحل هذا الارتباك، لدينا بعض قواعد الأسبقية أو الأولوية، والتي تم تأسيسها على الأقل في القرن السادس عشر.

هذه هي المعروفة بـ `ترتيب العمليات`، وتشمل الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس والتجميع.

ويكون ترتيب هذه العمليات كالآتي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.

ويمكن وصف ذلك من خلال: تتفوق الأقواس في الأسس، حيث تتفوق على الضرب والقسمة، ولكن الضرب والقسمة تأتي في نفس الترتيب.

تفوق الضرب والقسمة على الجمع والطرح، (ويكونان معا في الترتيب الأدنى)، وبمعنى آخر، الأسبقية هي:

• الأقواس (تبسيط الأرقام داخل القوس).
• الأس.
• عملية الضرب والقسمة تتم (من اليمين إلى اليسار عند استخدام الأرقام العربية، ومن اليسار إلى اليمين عند استخدام الأرقام الإنجليزية).
• الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار عند استخدام الأرقام العربية ومن اليسار إلى اليمين عند استخدام الأرقام الإنجليزية).

تابع أيضًا: ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟

اتجاه حل المسائل

عندما يكون لديك سلسلة من العمليات بنفس الأولوية، فإنك تعمل من اليسار إلى اليمين.

على سبيل المثال، “15 ÷ 3 × 4” ليست “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4″، بل هي “15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12”.

باستمرار الانتقال من اليسار إلى اليمين، ستصل إلى أن القسمة حدثت أولا.

إذا كنت غير متأكد من ذلك، فجرب ذلك في آلة الحاسبة الخاصة بك التي تم برمجتها باستخدام التسلسل الهرمي لترتيب العمليات.

على سبيل المثال، عند إدخال التعبير أعلاه في آلة حاسبة رسومية، ستحصل على:

  20 = 15 ÷ 3 × 4

ومع استخدام التسلسل الهرمي أعلاه، نلاحظ أنه في السؤال `4 + 2 × 3` في بداية هذه المقالة.

الاختيار الثاني (الذي قيمته 10) هو الإجابة الصحيحة، لأنه يجب علينا ضرب الأرقام قبل جمعها.

السبب في ترتيب العمليات الرياضية

تم ترتيب العمليات لمنع سوء الاتصال، ولكن نظام PEMDAS قد يسبب بعض الارتباك.

في بعض الأحيان، يميل بعض الطلاب إلى تطبيق التسلسل الهرمي كما لو أن جميع العمليات على نفس “المستوى” (أي الانتقال من اليسار إلى اليمين)، ولكن في الغالب لا تكون هذه العمليات “متساوية”.

غالبا ما يساعد حل المشكلات من الداخل إلى الخارج بدلا من حل المشكلات من اليسار إلى اليمين.

نظرا لأن بعض أجزاء التمرين عادة ما تكون أكثر “عمقا” من الأجزاء الأخرى، وأفضل طريقة لشرح ذلك هي تقديم بعض الأمثلة:

• بسّط المقدار: 3² + 4

الحل: في هذا المثال، نحتاج إلى تبسيط المصطلح، باستخدام الأس العددي 4 قبل محاولة إضافته، ويمكن وصف ذلك بالشكل التالي:

13 = 9 + 4 = 32 + 4، إذا القيمة المبسطة للمقدار هي 13

مثال

• بسّط المقدار: ²(1 + 2) + 4

الحل: في هذا المثال، يجب علينا أن نبسط الأعداد التي تتواجد بداخل الأقواس أولا، قبل أن نتمكن من تجاوز الأس.

وفقط بعد ذلك يمكننا إضافة الرقم 4، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

13 = 9 + 4 = 2(3) + 4 = 2(1 + 2) + 4، إذا قيمة المعادلة المبسطة هي 13

مثال آخر

• بسّط المقدار: ² [(1 – 2-) 1-] + 4

يجب ألا أحاول صنع تلك الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين، لأن هذه الطريقة تعرض ببساطة للخطأ.

بدلا من ذلك، سنحاول العمل من الداخل إلى الخارج، أولا، سنقوم بتبسيط الأرقام الموجودة داخل الأقواس المنحنية.

ثم سنبسط محتوى الأقواس الزاوية، وبعد ذلك سنهتم بالتربيع فقط.

بعد الانتهاء من ذلك، يمكننا أخيرا إضافة العدد 4، ويمكن وصفه على النحو التالي:

² [(1 – 2-) 1-] + 4

²[(3-) 1-] + 4 =

²[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

لا يوجد أهمية خاصة لاستخدام الأقواس المربعة (“[” و “]” أعلاه)، بدلا من الأقواس.

حيث يتم استعمال الأقواس المنحنية والأقواس المعقوفة (الأحرف “{” و “}”) عند وجود أقواس متداخلة كوسيلة مساعدة لتتبع الأقواس المستخدمة مع أي من الأقواس.

يتم أيضا استخدام أحرف التجميع المختلفة للراحة فقط، وهذا مشابه لما يحدث في جدول بيانات Excel عند إدخال صيغة باستخدام الأقواس

كل مجموعة من الأقواس مشفرة بالألوان، لذا يمكنك معرفة الأزواج:

مقال

• بسّط المقدار: (4/3 + 2/3-) 4

الحل: سنبسط الأعداد الموجودة داخل الأقواس أولا، ويمكن وصف ذلك كالتالي:

(4/3 + 2/3-) 4

أيضًا (3 / 4 + 2-) 4 =

كما أن (3 / 2) 4 =

3 / 8 =

إذن قيمة المقدار المبسطة هي 3 / 8

المشاكل المتعلقة بالتبسيط

تنشأ معظم المشاكل المرتبطة بالتبسيط عند استخدام ترتيب العمليات مع الأقواس المتداخلة والأس وعلامات الطرح.

لذا، في الأمثلة التالية، سوف نشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.

مثال

• بسط المقدار: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

الحل: سنبسط المعادلة من الداخل إلى الخارج. أولا، الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع الانتباه إلى أن علامة الطرح (-) التي تسبق الثلاثة تتوافق مع الأقواس.

وبمجرد الانتهاء من تجميع الأجزاء، سنقوم بعملية القسمة ومن ثم جمع العدد 4، ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3 – 4 =

كذلك 2 ÷ [6 – 4] 3 – 4 =

بينما 2 ÷ [2-] 3 – 4 =

كما أن 2 ÷ 6 + 4 =

وفي النهاية يساوي 3 + 4 =

7 =

إذن قيمة المقدار المبسطة هي 7

مثال آخر

• بسّط المقدار: 5 ÷ ²(3 – 8) 3 – 16

الحل: يجب عليك تبسيط ما بداخل الأقواس قبل إجراء عملية التربيع.

لأن 2(3-8) يختلف عن 32-82 ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:

5 ÷ ²(3 – 8) 3 – 16

أيضًا يساوي 5 ÷ ²(5) 3 – 16 =

5 ÷ (25) 3 – 16 =

بينما 5 ÷ 75 – 16 =

ونصل إلى 15 – 16 =

1 =

وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 1

اخترنا لك: ما هي الخوارزميات في الرياضيات؟

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا كنت قد تعلمت عن المتغيرات ودمج المصطلحات، فقد تجد أيضا تمارين مشابهة لهذه

• بسط المقدار: [(14x + 5 [6 – (2x + 3

الحل: إذا واجهتك مشكلة في طرح عملية بين قوسين، يمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 داخل القوسين (لاحظ اللون الأحمر المميز “1” أدناه)

[(14x + 5 [6 – (2x + 3

أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3 =

[14x + 5[6 – 2x – 3 =

بينما يكون [14x + 5[3 – 2x =

14x + 15 – 10x =

4x + 15 =

وبذلك تكون القيمة المبسطة للمقدار هي ٤× + ١٥

مثال

• بسط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –

الحل: يجب عليك أن تتذكر التبسيط في كل خطوة، وكذلك دمج المصطلحات المتشابهة في أي مكان وفي أي وقت تستطيع ذلك

{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

كذلك 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

بينما يكون {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

أيضًا عندما {2x + 6x – 3x + 1} – =

حيث يساوي {5x + 1} – =