الرسم البياني في الرياضيات، هو هيكل يربط بين مجموعة من الكائنات في نظرية الرسم البياني.
كما تكون فيها بعض أزواج الكائنات “مرتبطة” بمعنى ما، تابعوا موقع مقال للتعرف على الرسم البياني في الرياضيات.
الرسم البياني
عادةً ما يتم تصوير الرسم البياني (بالإنجليزية: بتصميم رسم بياني يتكون من مجموعة نقاط أو دوائر للأعمدة، متصلة بخطوط أو منحنيات للحواف.
بوصفها جزءا من الرياضيات المنفصلة، يمكن أن تكون الرسوم البيانية موجهة أو غير موجهة.
على سبيل المثال
إذا كانت هذه الرؤوس تمثل أفرادا متواجدين في حفلة ما، وكان هناك حافة بين شخصين، فإنهما يتصافحان.
هذا الرسم البياني غير موجه، لأنه يمكن لأي فرد `أ` أن يصافح فقط فرد `ب` إذا صافح `ب` أيضا الفرد `أ`.
وعلى العكس، إذا توافقت حافة أي فرد `أ` مع إعجاب شخص `ب`، فسيتم توجيه هذا الرسم البياني.
وذلك لأن الاعجاب ليس بالضرورة أن يكون متبادلا أو متساويا، ويسمى النوع السابق من الرسم البياني الرسم البياني غير الموجه.
أما النوع الأخير من الرسم البياني فيعرف بالرسم البياني الموجه.
الرسوم البيانية
هو الموضوع الأساسي الذي يدرس في نظرية الرسم البياني، وقد تم استخدام مصطلح `رسم بياني` بهذا المعنى للمرة الأولى من قبل جيمس جوزيف سيلفستر في عام 1878م.
شاهد أيضًا: ما هي أنواع الفنون السبعة في الرسم
تعريف الرسم البياني وأنواعه
تختلف التعريفات في نظرية الرسم البياني؛ وفيما يلي بعض الطرق الأساسية لتعريف الرسوم البيانية والهياكل الرياضية ذات الصلة:
الرسم البياني
الرسم البياني هو زوج (G = (V، E، حيث V تشير إلى مجموعة العناصر المسماة رؤوس (مفرد: قمة)، وE.
هي تجميعة من مجموعتين (مجموعات تحتوي على عنصرين مميزين) من الرؤوس، يطلق عليها اسم الحواف (أحيانا روابط أو خطوط).
يشار إلى النقطتين النهائيتين للحافة {x، y} بأسماء رؤوس الحافة x وy، ويقال إن الحافة تربط بين x وy، ويمكن أن تكون حادثة في x وy، وقد لا ينتمي الرأس إلى أي حافة.
الرسم البياني المتعدد
يعد هذا تعميما يسمح للحواف المختلفة أن تتشارك نفس نقاط النهاية، وفي بعض السياقات، يشار إلى الرسوم البيانية المتعددة ببساطة بالرسوم البيانية.
في بعض الأحيان، يسمح للرسوم البيانية بأن تحتوي على حلقات، وهي عبارة عن حواف تربط الرأس بنفسه، للسماح بوجود الحلقات.
على النحو المناسب، يتعين تغيير التعريف أعلاه بتعريف الحواف كمجموعات متعددة من الرؤوس بدلا من مجموعتين.
تعرف هذه الرسوم البيانية الشائعة بالرسوم البيانية ذات الحلقات أو الرسوم البيانية المعممة ببساطة عندما يظهر واضحا من السياق أن الحلقات مسموح بها.
الرسم البياني الفارغ
هو رسم يحتوي على مجموعة من النقاط الفارغة (وبالتالي مجموعة من الحواف الفارغة).
تكون ترتيب الرسم البياني عدد العقد | V |، ويكون حجم الرسم البياني عدد الحواف | E |.
ومع ذلك، في بعض السياقات، مثل التعبير عن تعقيد الخوارزميات الحسابية، يكون الحجم مساويا لـ |V| + |E|.
بالإضافة إلى ذلك، يمكن للرسم البياني ذو الحجم الصفري أن يكون غير فارغ.
بالإضافة إلى ذلك، يتم احتساب درجة الرأس أو التجانس بواسطة عدد الحواف الملامسة له، وفيما يتعلق بالرسوم البيانية ذات الحلقات، يتم حساب الحلقة مرتين.
الرسم البياني الموجه
الرسم البياني الموجه هو نوع من الرسوم البيانية حيث تكون الحواف لها اتجاهات في حس محدد.
ولكن الشائع جدا للمصطلح، [8] الرسم البياني الموجه هو زوج مرتب (G = (V، E يتألف من:
- V هو مجموعة من القمم (تسمى أيضا العقد أو النقاط) ومجموعة من الحواف.
- (تعرف أيضا بالحواف الموجهة، الروابط الموجهة، السهام الموجهة، الأقواس أو القوسين).
- وهي أزواج مرتبة من الرؤوس، أي ترتبط الحافة برأسين متميزين.
الرسم البياني المختلط
الرسم البياني المختلط هو نوع من الرسوم البيانية التي يتم فيها توجيه بعض الحواف ويمكن أن تكون بعض الحواف غير موجهة.
هو تمثيل ثلاثي (G = (V، E، A لرسم بياني بسيط مختلط، و (G = (V، E، A، ϕE ، ϕA لرسم بياني متعدد مختلط مع V و E (الحواف غير الموجهة)، و A (الحواف الموجهة).
الرسم البياني الموزون
الرسم البياني المرجح أو الشبكة هو رسم بياني يتم تعيين وزن (رقم) لكل حافة فيه.
وقد تمثل هذه الأوزان على سبيل المثال التكاليف أو الأطوال أو القدرات، باعتبارها معيارا للمشكلة المطروحة.
تظهر مثل هذه الرسوم البيانية في العديد من السياقات، على سبيل المثال في مشكلة بائع متجول أو في أقصر طريق لحل مشكلة ما.
أنواع الرسم البياني
رسم بياني موجه
- الرسم البياني الموجه هو نوع من الرسم البياني يحتوي على نقطتين (x، y) و (x، y) على الأكثر عبر حواف الرسم البياني P.
- يعني هذا أنه رسم بياني موجه يمكن تحويله إلى رسم بياني غير موجه.
رسم بياني منتظم
- الرسم البياني المنتظم هو رسم يحتوي على عدد متساو من الجيران لكل رأس، أي أن كل رأس لديه نفس الدرجة.
- يعرف الرسم البياني العادي برؤوس الدرجة k بالرسم البياني العادي k- أو الرسم البياني العادي للدرجة k.
رسم بياني كامل
- الرسم البياني الكامل هو رسم يتم فيه ربط كل زوج من الرؤوس بحافة، ويحوي الرسم البياني الكامل جميع الحواف الممكنة.
رسم بياني محدود
- الرسم البياني المحدود هو رسم بياني يتم فيه تحديد مجموعة الرأس ومجموعة الحافة بشكل محدود، أما خلاف ذلك، فيعرف بالرسم البياني اللانهائي.
رسم بياني متصل
- في الرسم البياني غير الموجه، يطلق على زوج غير مرتب من الرؤوس {x، y} المتصل إذا كان هناك مسار يربط بين x و y، وإلا فإن الزوج غير المرتب يعتبر غير متصل.
- الرسم البياني المتصل هو نوع من الرسم البياني غير الموجه، حيث يتم ربط كل زوج من النقاط غير المرتبة في الرسم البياني. وإلا فإنه يعتبر رسم بياني غير متصل.
تابع أيضًا: علم الفيزياء وارتباطه بالعلوم الأخرى
ومن الأنواع الأخرى
- رسم بياني ثنائي.
- أيضًا رسم بياني للمسار.
- رسم بياني مستوي.
- كذلك رسم بياني للدورة.
خصائص الرسوم البيانية
- تعتبر حواف الرسم البياني المتجاورتين إذا كانتا تشتركان في نقطة مشتركة.
- تعد الرسوم البيانية ذات الملصقات المرفقة بالحواف أو الرؤوس مصنفة.
- فئة جميع الرسوم البيانية تنتمي إلى فئة الشرائح Set ↓ D، حيث D: Set → Set هو المطابق الذي يأخذ مجموعة s إلى s × s.
أمثلة
- الرسم البياني هو تمثيل مخططي للرسم البياني المكون من العقد {V= {1، 2، 3، 4، 5، 6 والروابط {{E= {{1، 2}، {1، 5}، {2، 3}، {2، 5}، {3، 4}، {4، 5}، {4، 6.
- يتم تمثيل العلاقة الثنائية R على مجموعة X بشكل رسم بياني موجه، ويكون العنصر x في X سلفا مباشرا للعنصر y في X إذا وفقط إذا كان xRy.
- يمكن للرسم البياني الموجه أن يستخدم لإنشاء نماذج لشبكات المعلومات مثل تويتر، حيث يتابع المستخدمين بعضهم البعض.
- تعطى أمثلة منتظمة بشكل خاص باستخدام الرسوم البيانية الموجهة، عن طريق استخدام رسوم بيانية كايلي للمجموعات التي تم إنشاؤها بدقة.
- بالإضافة إلى الرسوم البيانية لجوز شرير.
- في نظرية الفئة، تحتوي كل فئة فرعية على رسم بياني متعدد التوجيه يتكون من كائنات الفئة كرؤوس وحواف الفئة كأسهم، في لغة نظرية التصنيف.
- كما يقول الإنسان أن هناك عاملا منسيا من فئة الفئات الصغيرة إلى فئة الارتعاشات.
التعميمات
- في الرسم البياني التشعبي، يمكن أن تصل الحافة إلى أكثر من رأسين.
- يمكن اعتبار المخطط غير الموجه على أنه معقد بسيط يتألف من 1 حافة مبسطة و 0 رأس مبسطة، وفقا لهذا التصور.
- فالمجمعات هي تصويرات تبسيطية للرسوم البيانية لأنها تقلل الأبعاد الأعلى.
- كل رسم بياني يؤدي إلى matroid.
- في نظرية النموذج، يعتبر الرسم البياني هيكلا فقط، ولكن في هذه الحالة، لا توجد قيود على عدد الحواف: يمكن أن يكون أي عدد أساسي.
- أيضا في علم الأحياء الحسابي، يتم تقديم تحليل الرسم البياني لطاقة الرسوم البيانية، كتمثيل بديل للرسوم البيانية غير الموجهة.
- وفي أنظمة المعلومات الجغرافية، يتم نمذجة الشبكات الهندسية بشكل وثيق بعد الرسوم البيانية
- وهي أيضا تقترض العديد من المفاهيم من نظرية الرسم البياني لتحليل المكاني لشبكات الطرق والمرافق.
تابع أيضًا: الفيزياء الحيوية وتطبيقاتها
كانت هذه نبذة عن الرسم البياني في مجال الرياضيات، نأمل أن يكون المحتوى مفيدا لكم وأن يحظى برضاكم، وللمزيد من المواضيع الرياضية، يرجى زيارة قسم الرياضيات في موقع مقال.
