في هذا المقال سنقدم عبر موقع mkaal.com طريقة حل المعادلات من الدرجة الثانية، وهي واحدة من الأساليب المبحوث عنها من قبل الطلاب والمعلمين لحل مشاكلهم الرياضية، حيث سنوضح القوانين المختلفة المتبعة في حل هذا النوع من المعادلات وسنقدم بعض الأمثلة التطبيقية على هذه القوانين.
المعادلة من الدرجة الثانية
- في مقال حول حل معادلة من الدرجة الثانية، يجب أن نعلم أن المعادلة من الدرجة الثانية يمكن وصفها على أنها معادلة جبرية تحتوي على متغير واحد.
- وتعرف أيضا بالمعادلة التربيعية بسبب وجود س² فيها، وكان البابليون أول من حاولوا حل المعادلات من الدرجة الثانية أثناء محاولتهم لايجاد أبعاد مساحة معينة.
- ثم جاء الخوارزمي، المعروف الآن بأبي الجبر، وقام بكتابة صيغة مشابهة للصيغة المعادلة الثانية الحالية في كتابه الشهير المسمى حساب الجبر والمقابلة.
- وهذه الطريقة التي صاغها هي واحدة من أكثر الطرق شمولية لحل المعادلة الثانوية بالمقارنة مع الطريقة البابلية.
ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: بحث عن حل المعادلات والمتباينات الأسية وأنواعها كاملة
الصيغة العامة لمعادلة الدرجة الثانية
الصيغة العامة المستخدمة لكتابة معادلة الدرجة الثانية أو المعادلة التربيعية هي:
- أس2+ ب س + جـ = صفر، حيث إنّ: عندما يكون أ≠صفر، يعبر عنه بواسطة معامل س2 وهو ثابت عددي.
- بالتالي، يمكن تعريف الصيغة أس2+ بس + جـ = صفر، حيث أن الأعداد الثابتة فيها هي س وجـ، ومن الممكن أن تكون هذه الأعداد مساوية للصفر.
- أعلى قيمة يمكن أن يصل إليها الأس في معادلة درجة القوة الثانية هي 2، ومعامل أ لا يساوي الصفر على الإطلاق.
حل معادلة من الدرجة الثانية
هناك عدة طرق مختلفة يمكن من خلالها حل المعادلة من الدرجة الثانية، بمن فيها:
الطريقة الأولى لحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام القانون العام
- في هذه الطريقة يستخدم القانون العام لحل المعادلة التربيعية، وهو القانون الأكثر شمولية، ولكن يشترط أن يكون المعامل المميز للمعادلة عددا إيجابيا أو صفرا.
- المميز في المعادلة هو القيمة التي تحدد بها جذور المعادلة أو عدد الحلول، ويكتب القانون العام على شكل س يساوي ( -ب ± (ب٢ – ٤أجـ )√)/٢أ.
- في القانون العام، العلامة ± تشير إلى وجود حلول لمعادلة ما أو وجود جذور لها وهما كالتالي:
- س1=( -ب + (ب2 – 4أجـ )√)/2أ
- س2=( -ب – (ب2 – 4أجـ )√)/2أ
- ومع ذلك، يجب علينا أن لا ننسى أنه ليس دائما هناك حلان للمعادلة، حيث قد يكون هناك حل واحد فقط في بعض الأحيان وقد لا تكون هناك حلول نهائية في أحيان أخرى.
- يجب الرجوع هنا إلى المعامل ويرمز لها بالرمز Δ، ويعتمد قانون المعامل بأن Δ = بتربيع – 4أجـ.
- إذا كانت قيمة المميز إيجابية حيث Δ > 0، فإن المعادلة ستكون لها حلان أو جذران.
- إذا كانت قيمة المتغير المميز تساوي الصفر (Δ = صفر)، فإن لديها حلا مشتركا واحدا.
- إذا كانت القيمة المطلقة للمعامل سالبة حيث Δ < 0 ، فإنه لا يوجد حلول للمعادلة بالأعداد الحقيقية ولكن هناك حلان لها باستخدام الأعداد المركبة.
- من هنا نستنتج أن القانون العام هو القانون الأكثر شمولية في حل المعادلات من الدرجة الثانية بغض النظر عن شكلها وقيمة المعامل المميز.
أمثلة لحل المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام القانون العام
المثال الأول
- س2 + 4س – 21 = صفر.
- أولا نحدد القيم الحدودية على النحو التالي: أ = 1، ب = 4، جـ = -21.
- ثم نقوم بإجراء التعويض في القانون العام، حيث س = (-4 ± (16- 4 1(-21))√)/(2*1). بعد ذلك يكون لدينا (-4 ± (100 )√)/2 ومنه (-4 ± 10)/2 = -2± 5.
- نجد قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {3, -7}.
المثال الثاني
- س2 + 2س +1= 0.
- نقوم بتحديد المعاملات أ=1, ب=2 ,جـ =1.
- قيمة المميز = (2)^2 – 4 * 1 * 1√ = 4 – 4√ = 0، وبالتالي يوجد حل وحيد.
- بعد تطبيقه في القانون العام، س = (-2 ± (0 )√)/2*1 = 1-.
- تكون القيمة التي تكون حلًّا للمعادلة هي: س= {1-}.
المثال الثالث
- س2 + 4س =5.
- أولا نقوم بكتابة المعادلة على الصورة القياسية: س2 + 4س – 5= صفر.
- ثم تحديد المعاملات أ=1، ب=4، جـ =-5.
- عند تطبيقه في القانون العام، س = (-4 ± (16 – 4 * 1 * -5)√) / (2 * 1).
- س= (-4 ± (16+20)√)/2 ومنه س= (-4 ± (36)√)/2. س= (-4 + 6) /2 = 2/2 = 1.
- أو س= (-4 – 6) /2 = -10/ 2= -5.
- إذًن قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {-5 ,1}.
الطريقة الثانية لحل معادلة من الدرجة الثانية
- الطريقة الثانية لحل المعادلة من الدرجة الثانية هي طريقة تحليلها إلى العوامل، وتعد هذه الطريقة من أكثر الطرق استخداما بسبب سهولتها.
- عندما نحل بواسطة هذه الطريقة ، يجب علينا كتابة المعادلة في صورتها القياسية على النحو التالي: أس2 + ب س + ج = صفر.
- في هذه الطريقة، نجد أن قيمة أ تساوي 1 وتتم فتح الأقواس للحصول على حاصل الضرب التالي
- (س (±* (س (± ونفترض قيمتين عدديتين يكون مجموعهما يساوي ب من حيث الإشارة والقيمة.
- ناتج ضربهما يكون يساوي القيمة جيم وهي الثابتة من حيث القيمة والإشارة.
- إذا كان أ= 1، يتم ضرب أ في جـ للحصول على الناتج، ويرمز لهذه العملية بالرمز ع.
- بعد ذلك، يتم البحث عن عددين يكون حاصل ضربهما يساوي القيمة `ع`، ولكن يجب أن يكون مجموعهما أيضا يساوي `ب`.
يتم حل المعادلة من الدرجة الثانية بتحليلها إلى عوامل
- 4س2+ 15 س + 9= صفر.
- عند حل هذه المعادلة، نحدد قيم العوامل أولا، فنجد أنها تساوي 4 و 15 و 9.
- ثم نقوم بحساب حاصل ضرب أضعافهما أ * ج = 4 * 9 = 36.
- ثم نبحث عن عددين يكون حاصل ضربهما يساوي 36، ومجموعهما يساوي قيمة المعامل س، أي يساوي 12 و3.
- نجد 3 × 12 = 36، ومجموعهما 12 + 3 = 15، وهذا يمثل قيمة ب.
- بعد ذلك نقوم بتعويض القيمة بقيمتين وبعدها تصبح المعادلة كما يلي
- 4س2+ 12 س +3 س + 9= صفر.
- ثم نأخذ العامل المشترك الأكبر لكل الحدين عن طريق الجمع كما يلي 4س (س+3) + 3 (س+3).
- نجد أن الناتج يحتوي على قوسين متشابهين، فنقوم بإخراج العامل المشترك من خلال الخطوة المفقودة: (س + 3) × (4س + 3)، وبعد ذلك نجد أن س = 4 / -3.
- لذلك نقول إنه في طريقة تحليل العوامل يمكننا الاعتماد على س^2 مع متابعة الخطوات السابقة، وإذا كان بالإمكان استخدام قسمة س^2 على جميع الحدود والتخلص منه، فإننا نتبع خطوات الحل المذكورة إذا كان أ=1.
أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية بالتفكيك إلى عوامل
المثال الأول
- س2 – 3س – 10= صفر.
- نفتح قوسين ونجد عددين يكون حاصل ضربهما -10، وهي قيمة جيم، ومجموعهما يكون -3، وهي قيمة باء.
- عند البحث، نجد أن الأرقام -5 و 2 نقوم بإعطائها قيمة صفر: (س- 5) *(س+2) =0.
- وفي النهاية نحصل على قيمة س التي تكون حلًا للمعادلة هي: {-2 ,5}.
المثال الثاني
- س2 +5س + 6 =صفر.
- نقوم أولا بفتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (س + 3) * (س + 2) = 0، ثم نقوم بمعادلة كل قوس بالصفر: (س + 2) = 0، (س + 3) = 0.
- وبحل المعادلتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-3,-2}.
المثال الثالث
- 2س2 +5س =12.
- نقوم في البداية بكتابة المعادلة على الصورة العامة: 2س2 +5س -12= 0.
- ثم نقوم بفتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية وهي كالتالي
- (2س-3) (س+4) = 0.
- نعمل على مساواة كل قوس بالصفر: (2س-3) = 0 أو (س+4)= 0.د
- وفي النهاية نقوم بحل المعادلتين للحصول على القيم التي تحقق المعادلة وهي: {3/2، -4}.
الطريقة الثالثة لحل معادلة من الدرجة الثانية
- في الطريقة الثالثة لحل المعادلة من الدرجة الثانية، نستخدم الجذر التربيعي، وتعتمد هذه الطريقة على عدم وجود الحد الأوسط (ب*س).
- مثل هذه المعادلة س2 – 1=24، يتم نقل جميع الحدود الثابتة في المعادلة إلى الجانب الأيسر، ثم يتم كتابة المعادلة كالتالي س2 = 25.
- عندما نقوم بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، تصبح قيمة س كذلك
- س: {-5، +5} حيث يتم استخدام الجذر التربيعي عندما لا يكون هناك حد متوسط.
اقرأ من هنا عن: هو بمثابه كلمه السر في المعادلة من ثلاث حروف
أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الجذر التربيعي
المثال الأول
- س2 – 4= 0.
- أولًا نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 =4.
- ثم نقوم بأخذ الجذر التربيعي للعددين، وبالتالي ستكون القيم المحققة للمعادلة هي: س = 2 أو س = -2.
المثال الثاني
- 2س2+ 3= 131.
- في البداية نقوم بنقل الثابت 3 إلى الطرف الأيسر: 2س2 = 131-3 , فتصبح المعادلة 2س2 = 128.
- نقسم على العامل س2 لكلا الجانبين: س2 = 64.
- ثم يتم أخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على قيمة س التي تحقق المعادلة
- س= -8 أو س= 8.
المثال الثالث
- (س – 5)2 – 100= صفر.
- نحول الثابت العددي إلى الجانب الآخر: (س – 5)2 = 100.
- ثم أخذ الجذر التربيعي للطرفين: (س-5)2√=100√
- تتحول المعادلة (س -5) إلى 10 أو (س -5) إلى -10.
- بعد حل المعادلتين الخطيتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {15, -5}.
الطريقة الرابعة لحل معادلة من الدرجة الثانية
هذه الطريقة معروفة بطريقة استكمال المربع، حيث نقوم بكتابة المعادلة في شكل مربع كامل.
- في طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بإكمال المربع، نقوم بحل هذه المعادلة التي تأخذ الشكل س2 – 10س = 21 باتباع الخطوات التالية:
- في البداية نجد قيمة 2 (2/ ب)، وبناء على المعادلة السابقة، 2 (2/ -10) = 25.
- عندما نقوم بإضافة الرقم 25 إلى الطرفين في المعادلة س2 – 10س + 25 = 21 + 25، يصبح الطرف الأيسر مربعا كاملا، وتتحول المعادلة إلى شكل س2 – 10س + 25 = 4.
- ثم نحلل الجانب الأيمن باستخدام التحليل إلى العوامل للحصول على مربع كامل أيضا
- (س -5) * (س -5) =4.
- بمعنى (س-5) مربع يساوي 4، ثم نأخذ الجذر التربيعي للجانبين، فتكون لدينا نتيجتان وهما س-5= +2 أو س-5= -2.
- في النهاية، نحل المعادلة التي تحتوي على المجهولين ونحصل على قيمة س تساوي {7، 3}.
أمثلة لطريقة حل المعادلة من الدرجة الثانية باستخدام طريقة إكمال المربع
المثال الأول
- س2 + 4س +1= صفر.
- في البداية نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 + 4س = -1.
- ثم استكمال المربع الكامل على الجانب الأيمن بإضافة ناتج عدد (٢/ب)٢= (٤/٢)٢= (٢)٢=٤.
- بعد ذلك إضافة الناتج 4 للطرفين: س2 + 4س+4 = -1+4لتصبح:
- س2 + 4س+4 = 3.
- نقوم بكتابة الطرف الأيمن على صورة مربع كامل: (س+2)2=3.
- بعدها نقوم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين وقتها ينتُج معادلتين وهما: س+2= 3√ أو س+2= 3√-.
- بعد حل المعادلتين الخطيتين نجد قيم س التي تحقق المعادلة هي:
- {3√+2- , 3√-2-}.
المثال الثاني
- 5س2 – 4س – 2= صفر.
- أولا نقسم جميع الحدود على 5 (معامل س2): س2 – 0.8 س – 0.4= صفر.
- نقوم بنقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 – 0.8 س = 0.4.
- ثم يتم تطبيق القاعدة 2^(2/ب) = 2^(0.8/2) = 0.42 = 0.16.
- بعدها إضافة الناتج 0.16 للطرفين لتصبح المعادلة على هذا الشكل:
- س2 – 0.8 س+0.16 = 0.4 + 0.16.
- ثم نقوم بكتابة الجانب الأيمن في صورة مربعية 2(س – 0.4) = 0.56.
- بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي للطرفين فينتُج معادلتين وهما: س – 0.4= 0.56√ أو س-0.4= 0.56√-.
- ومن خلال حل المعادلتين الخطيتين، ستكون هناك قيم لـ س التي تحقق المعادلة
- {-0.348, 1.148}.
المثال الثالث
- س2 + 8س + 2= 22.
- نقوم بنقل الثابت إلى الطرف الأيسر: س2 + 8 س =22-2 فتصبح المعادلة:
- س2 + 8 س =20.
- عند تطبيق القاعدة 2^(2/(ب)) = 2^(8/2) = 42 = 16.
- بعدها نقوم بإضافة الناتج 16 للطرفين: س2 + 8 س+16 = 20 + 16.
- نقوم بكتابة الطرف الأيمن على صورة مربع: 2(س + 4) =36.
- وفي النهاية نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س + 4 = -6، وبالتالي س = -10، أو س + 4 = 6، وبالتالي س = 2.
- وتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-2,10}.
اقرأ أيضًا: المعادلة الكيميائية الموزونة اللفظية والرمزية
في النهاية لمقال حول حل معادلة من الدرجة الثانية، قد شرحنا فكرة المعادلة من الدرجة الثانية وطرق مختلفة لحلها، والقوانين المتعلقة بها، وبعض الأمثلة التي توضح الخطوات المتبعة في حل المعادلة، ونتمنى التوفيق للجميع.
