بحث رياضي عن ضرب وقسمة العبارات النسبية في الصف الثاني الثانوي

دراسة رياضية حول ضرب العبارات النسبية وقسمتها في المرحلة الثانوية، تشير الأبحاث إلى أن الأشخاص الذين يتقنون الرياضيات.

يمكنهم تجنيد مناطق محددة في الدماغ بشكل أكثر موثوقية، حيث يتمتعون بحجم أكبر من المادة الرمادية في تلك المناطق، أكثر من الأشخاص الذين يتفوقون بشكل أقل في مجال الرياضيات.

تشير هذه الدراسة إلى أن نفس المناطق في الدماغ التي تساعدك على الرياضيات تستخدم أيضا في عملية اتخاذ القرارات والعمليات المتعمدة. تابعنا على موقع مقال لمعرفة تفاصيل البحث حول ضرب العبارات النسبية وقسمتها في المرحلة الثانوية

العبارات النسبية

العبارة النسبية تتألف من بسط ومقام، حيث يحتوي البسط على عبارة والمقام يحتوي أيضا على عبارة، ويمكن تعريفها بأنها النسبة بين الحدود المتعددة.

يطلق على العبارات النسبية هذا الاسم نظرا لأنها تشتمل على تقسيم أحد الأعداد على الآخر كالنسبة. وتنقسم العبارات النسبية إلى جزئين، الجزء الأول للعدد والجزء الآخر للمعادلات.

سنتحدث في هذا البحث عن كيفية ضرب وقسمة العبارات النسبية للصف الثاني الثانوي.

شاهد أيضًا: موضوع عن الهندسة الفراغية في الرياضيات

تبسيط العبارات النسبية

فلنبدأ بإعادة صياغة بعض القوانين السابقة التي تمت دراستها من قبل للتذكير، وهما:

القاعدة الأولى: تبسيط عبارة في شكل فرق بين مربعين.
القاعدة الثانية: تبسيط مقدار من الدرجة الثانية.

مثال 1: بسّط العبارة x2 -64

الحل:

نلاحظ أن هذه العبارة كتبت على الصورة (x2 – a2)، وهذه الصورة الرياضية يطلق عليها “الفرق بين مربعين”، وتم تبسيط العبارات التي من نفس النوع بالقاعدة:

X2 – a2) = (x – a) (x + a))

وبالتالي يكون تبسيط المعادلة x2 – 64 هو:

(X2 – 64) = (x – 8) (x + 8)

مثال 2: بسّط العبارة x2 -5x – 24

الحل:

نتلاحظ أن هذا القيمة مدونة في الصورة (ax2 + bx + c)، والتي تسمى قيمة معادلة من الدرجة الثانية.

وسيتم تبسيط العبارات التي تنتمي إلى نفس النوع عن طريق إيجاد عددين، حيث يكون حاصل ضربهما يساوي (+c)، وحاصل جمعهما يساوي (+b) في نفس الوقت.

بهذه الطريقة نجد عددين يكون حاصل ضربهما يساوي -24، وحاصل جمعهما يساوي -5، وهما (3، -8) على التوالي

3 = -24×-8
-8 + 3 = -5

بينما يكون تبسيط المعادلة x2– 5x – 24 هو:

x2 – 5x – 24 = (x – 8)(x + 3)

تابع أيضًا: بحث عن التبرير الاستنتاجي في الرياضيات

تبسيط العبارات النسبية

مثال 1: بسّط العبارة (5x(x^2+4x+3)) /((x+1) (x^2-9))

الحل:

وبهدف تبسيط هذه العبارة، سنبدأ بتبسيط العبارات الموجودة في البسط أولا، ثم نبدأ بتبسيط العبارات الموجودة في المقام.

أيضا، العبارة التي يمكن تبسيطها سنقوم بتبسيطها، والعبارة التي لا يمكن تبسيطها سنتركها كما هي.

إذا ننظر إلى البسط، سنلاحظ أن المعادلة (x2 + 4x + 3) مكتوبة على شكل (ax2 + bx + c)، وبالتالي يمكن تحليل هذا المعادلة على النحو التالي:

(X2 + 4x + 3) = (x + 1) (x + 3)

عند النظر إلى المقام، سنلاحظ أن المقدار (x2-9) مكتوب على الشكل (x2 – a2)، وبالتالي يمكن تحليل هذا المقدار على النحو التالي:

(X2- 9) = (x + 3) (x + 3)

إذاً:

(5x(x^2 + 4x + 3))/ ((x + 1) (x^2 – 9)) = (5x(x+1) (X+3))/ ((x+1) (x+3) (x-3))

بالاختصار:

(5x(x^2 + 4x + 3))/ ((x + 1) (x^2 – 9)) = 5x/ ((x-3))

وهذه هي أبسط صورة.

مثال 2: بسّط العبارة(4y(y-3) (y+4)) /(y(y^2-y-6))

الحل:

كما قمنا سابقا، سنبسط العبارة التي يمكن تبسيطها، وسنترك العبارة التي لا يمكن تبسيطها بحالها كما هي على النحو التالي:

عند التفكير في الكسور، نجد أن جميع الحدود من الدرجة الأولى، أي لا يمكن تبسيطها أكثر مما هي عليه، وبالتالي سنتركها.

إذا نظرنا إلى المقام، سنجد المقدار (y2 – y – 6) من الدرجة الثانية، وعلى الصورة (ax2 + bx + c)، وبالتالي يمكن تبسيطه كالتالي:

(y2 – y – 6) = (y – 3) (y + 2)

إذاً:

(4y(y-3) (y+4))/(y(y^2-y-6)) = (4y(y-3) (y+4))/(y(y-3) (y+2))

بالاختصار:

(4y(y-3) (y+4))/(y(y^2-y-6)) = (4(y+4))/ ((y+2))

وهذه هي أبسط صورة

العبارات النسبية الغير معرفَّة

أيضا، العبارة النسبية تكتب على هيئة بسط، والمقام يكون غير معرف إذا كان المقام يساوي صفرا (a/b=غير معرفة)، عندما تكون قيمة b=0.

مثال 3: ما هي القيم التي تجعل العبارة (x^2 (x^2+5x-14)) /(4x(x^2+6x+8)) غير معرفة؟

الحل:

كما ذكر سابقا، أي عبارة نسبية تكتب على شكل كسر وتكون غير معرفة إذا كان المقام يساوي الصفر (a/b = غير معرفة).

عندما تكون قيمة b=0، ومع ذلك، لا بد من تبسيط المقام لإيجاد الأعداد التي تجعله يساوي صفرا.

خاصة بما أن المقدار الذي يمكن تبسيطه في المقام هو (x2 + 6x + 8)، وهو مكتوب على شكل (ax2 + bx + c)، وبالتالي يمكن تبسيطه كما يلي:

(X2 + 6x +8) = (x + 2) (x + 4)

كما في هذه الحالة سنقول إن المقام يساوي صفراً، إذا كانت:

x + 2 = 0 or x + 4 = 0 or 4x = 0

والآن سنقوم بحل كلاً من هذه المعادلات الثلاثة، فعندما:

x + 2 = 0, x = -2
x + 4 = 0, x = -4
4x = 0, x = 0

وبالتالي، قيم x التي تجعل العبارة غير معرفة هي -2، -4، 0

تبسيط الجملة النسبية عن طريق استخراج (-1) كعامل مشترك

مثال 4: بسّط العبارة ((4w^2-3wy) (w+y)) /((3y-4w) (5w+y))

الحل:

أيضا، بأخذ w عاملا مشتركا في التعبير (4w2 – 3wy) الموجود في البسط، يصبح العلاقة على النحو التالي:

((4w^2-3wy) (w+y))/ ((3y-4w) (5w+y)) = (w (4w-3y) (w+y))/ ((3y-4w) (5w+y))

إذا نظرنا إلى المقدار (4w – 3y) في البسط، سنجد أنه يشبه المقدار (3y – 4w)، ويمكننا دمجهما معا.

نلاحظ أن القيمتين مختلفتين في الإشارة، وبالتالي يمكننا أخذ عامل (-1) مشتركا بين أي منهما واختصارهما معا كما يلي:

((4w^2-3wy) (w+y))/ ((3y-4w) (5w+y)) = (w (-1) (3y-4w) (w+y))/ ((3y-4w) (5w+y))

بالاختصار:

((4w^2-3wy) (w+y))/ ((3y-4w) (5w+y)) = (-w (w+y))/ ((5w+y))

وهذه هي أبسط صورة.

العبارات النسبية تتضمن العديد من الحدود في كل من توسيعها ومحدوديتها

في بعض الأحيان، يجب تحليل البسط أو المقام أو كليهما قبل تبسيط ناتج ضرب عبارات نسبية أو قسمتها.

مثال5: قم بتوسيع كل من العبارات (x^2-6x-16) /(x^2-16x+64) × (x-8) /(x^2+5x+6)

الحل:

بالإضافة إلى ذلك، سنبسط أي عبارة قابلة للبسط، وكما هو معتاد، سنترك العبارات غير القابلة للبسط كما هي.

عندما ننظر إلى المقدار (x2 – 6x – 16) من الدرجة الثانية ونراه على شكل (ax2 + bx + c)، يمكننا تبسيطه كما يلي:

= (x – 8) (x + 2) ((x2 – 6x – 16))

إذا نظرنا إلى المعادلة (x2 – 16x + 64)، سنجد أنها معادلة من الدرجة الثانية، وعلى شكل (ax2 + bx + c)، وبالتالي يمكن تبسيطها كالتالي:

= (x – 8) (x – 8) ((x2 – 16x + 64))

عند النظر إلى المقدار (x2+5x+6)، سنجده أيضا من الدرجة الثانية، ويمكن تبسيطه كما يلي: (ax2+bx+c)

= (x + 2) (x + 3) ((x2 + 5x + 6))

أيضًا يمكن كتابة المعادلة كالآتي:

(X^2-6x-16)/(x^2-16x+64) ×(x-8)/(x^2+5x+6) = ((x-8) (x+2))/ ((x-8) (x-8)) ×(x-8)/ ((x+2) (x+3))

بالاختصار:

(X^2-6x-16)/(x^2-16x+64) ×(x-8)/(x^2+5x+6) = ((x+2))/ ((x-8)) ×(x-8)/ ((x+2) (x+3))

وبالتالي:

(X^2-6x-16)/(x^2-16x+64) ×(x-8)/(x^2+5x+6) = (x+2) (x-8)/(x-8) (x+2) (x+3)

بالاختصار:

(X^2-6x-16)/(x^2-16x+64) ×(x-8)/(x^2+5x+6) =1/ ((x+2))

وهي أبسط صورة للعبارة.

اخترنا لك: بحث عن الأعمدة والمسافة في الرياضيات

وبعد أن تحدثنا عن هذا الموضوع في بحث رياضيات عن ضرب العبارات النسبية وقسمتها ثاني ثانوي، نرجو أن يكون الموضوع قد أفادكم من خلال التوضيح بالأمثلة، ونال رضاكم، متمنين من الله-تعالى-دوام التوفيق.