نظرية الاحتمالات المزدوجة

نظرية الاحتمالات ذات الحدين هي إحدى النظريات الهامة، حيث يعتبر التوزيع الاحتمالي ذو الحدين النتيجة التي تحدث من تجربة عشوائية وتتميز بأنها تنتج نتيجتين فقط، إما نجاح التجربة بنسبة احتمال معينة وإما فشل التجربة، ويجب أن لا يتأثر احتمال النجاح بتكرار التجربة.

خصائص التوزيع الثنائي

حيث تتألف التجربة من عدة محاولات، أما إذا كانت مكونة من محاولة واحدة فإن ذلك يكون في إطار تجربة توزيع برنولي.
استقلال المحاولات عن بعضها يعني أن احتمالية النجاح تكون p واحتمالية الفشل تكون q.
هو نموذج من التوزيعات المتقطعة التي تهتم بالتجارب المتكررة n مرات.
وأن يكون متوسطه = نب وتباينه = نبق، ويكون الانحراف المعياري = جذر التباين.
تكون جميع هذه المحاولات متماثلة ومستقلة.
أن يكون احتمال النجاح ثابتا في كل محاولة.

اقرأ من هنا عن: علاقة الرياضيات بالعلوم الأخرى؟

نظرية ذات الحدين في الاحتمالات

تعطى كل محاولة نتيجة واحدة فقط، سواء كانت ناجحة أو فاشلة، حيث يظل الناتج ثابتا.
احتمال النجاح (p) + احتمال الفشل (q) = 1، أي أن q=1-p.
تتم المحاولات بشكل مستقل وعددها n، حيث تكون X هو عدد المحاولات الناجحة من بين إجمالي المحاولات n.
حيث أن X هو متغير ذو حدين وتوزيعه الاحتمالي هو توزيع ذو حدين.

قانون ذات الحدين

نفترض أن P(x) = P(X=x) حيث x هو عدد المحاولات الناجحة.
أن يكون عدد المحاولات الفاشلة (n-x).
احتمالية الحدث تكون مستقلة، حيث يكون الأحداث مستقلة واحتمالية الحدث (أ) تساوي حاصل ضرب احتمالية حدوث الحدث (أ) واحتمالية حدوث الحدث (ب)، كما يلي: P(aՈb) = P(a) × P(b).
عدد طرق اختيار X الناجحة من n محاولة هو التوافق بين n مأخوذة x مرة.
تسمى الاحتمالية X بذي الحدين عندما تكون وظيفتها الاحتمالية بهذا الشكل
1. = P(x)
إذا قمت برمي النرد 180 مرة، فإن الوسط لعدد مرات الحصول على رقم 6 هو 180 × (30=( ، والتباين هو 180 × ( )×( )= 25، والانحراف المعياري هو

مثال1

في الاختبار المكون من 10 أسئلة، يتكون كل سؤال من 4 إجابات، حيث تكون إجابة واحدة فقط صحيحة والثلاثة الأخرى خاطئة.
إذا قررنا اختيار الإجابة الصحيحة عشوائيا من بين الإجابات الأربع، بسبب عدم معرفتنا بالإجابة الصحيحة.
فكل إجابة تمثل محاولة ناجحة (25) أو خاطئة (0.75).
وعدد المحاولات n هو 10، ونظرا لأن المحاولات مستقلة، فإنها تتبع توزيعا ذو حدين.

مثال 2

هناك كيس يحتوي على 3 كرات خضراء و 6 كرات حمراء. تم سحب 5 كرات مع إعادتها. ما هو احتمال سحب 3 كرات حمراء من بين الكرات المسحوبة؟
فيكون الحل
ن=5، ر=3، أ=حيث ن يمثل عدد مرات إجراء التجربة، وأ يمثل احتمال النجاح في المحاولة الفردية.
فإن ل ( س = 3 ) = [ ] × ) )

مثال 3

في كيس يوجد 3 كرات حمراء و 7 كرات بيضاء، إذا سحبت 5 كرات متتالية مع الإرجاع، ما هي احتمالية الحصول على 4 كرات بيضاء؟.
الحل
ن = 5، ر = 4
ل (ب) = 0.7، ل( ح ) = 0.3
ل( 4 ) = [ ] ) ( )

مثال 4

أطلق صياد 10 طلقات على هدف، وكانت احتمالية إصابة الهدف في كل مرة (0.9)، فما احتمالية أن يصيب الهدف في مرة واحدة على الأقل.
الحل
ن = 10، س = 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10.
أ = 0.9
مرة واحدة على الأقل = 1 – 0 = 1 – () () = 1 – ()

ولا يفوتك قراءة مقالنا عن: الفرق بين النظرية والفرضية والحقيقة

توزيع بواسون هو نسبة تنسب إلى الرياضي الفرنسي سيمون د. بواسون

توزيع الحوادث النادرة هو توزيع مهم في الإحصاء، ويستخدم على سبيل المثال في حساب عدد الوحدات المعيبة في مصنع كبير وعدد المكالمات التي تستقبلها بدالة الهاتف خلال فترة زمنية محددة.

نموذج انحدار ذي الحدين السالب

حيث أنه ينتمي إلى نظرية ذات الحدين في الاحتمالات.
يعتبر هذا نموذجا عدديا يستخدم لتمثيل بعض الظواهر والحالات في مجالات مثل الطب والهندسة والمالية والجيوفيزياء والطبيعة، مثل الأمطار والأعاصير والزلازل، حيث لا يمكن التعبير عنها بواسطة النماذج التقليدية التي تعتمد على التوزيع الفردي.
هذه الظواهر تتطلب دمج توزيعين مثل (بواسون وكاما) للحصول على توزيع أكثر مرونة في حالة الظواهر المعقدة والمجتمعات غير المتجانسة.
ثنائي الحدين السالب يعتبر عاملا مهما في نظرية الاحتمالات ذات الحدين، وهو ضروري للدراسات الحيوية والبيولوجية والبيئية والعلوم الزراعية والهندسية وعلم البكتيريا. إنه الأساس لنموذج إحصائي يستخدم في تحليل البيانات العددية (count data).
باعتبار أن المتوسط والانحراف المعياري لتوزيع بواسون متساويين، فعند زيادة القيمة المتوسطة يزداد الانحراف المعياري أيضا، وتسمى هذه الخاصية بالتشتت المتوازن عندما يكون للبيانات توزيع بواسون.
في حالة وجود تباين كبير في البيانات وتوجد خاصية فرط التشتت، نستخدم نموذجا ثنائي الحدين السالب، المعروف بنموذج بواسون-كاما المختلط، الذي يكون الأكثر ملائمة في حالة فرط التشتت.
على الرغم من أن نموذج ذو الحدين السالب كمثال لنظرية ذو الحدين في الاحتمالات والذي يأتي من نموذج (بواسون – كاما) المركب بطريقة تقليدية.
ومع ذلك، قد يكون النموذج ثنائي الحدين السالب جزءا من توزيعات العائلة الأسية ذات المعلمة المفردة المعتمدة على النماذج الخطية العامة.
يتحقق القيم السالبة المزدوجة عندما يكون التباين أكبر من متوسط البيانات.
هناك أربع طرق مختلفة، وهي طريقة الأمكان الأعظم، وطريقة المربعات الصغرى المعادة الوزن التكرارية، وطريقة الأمكان الموزونة، وأيضا طريقة المربعات الصغرى الموزونة.
تختلف معايير طرق الشحن السالبة بحسب الهدف المراد تحقيقه.
عندما قمت بأخذ عينة عشوائية صغيرة بحجم 257 حالة من الأطفال الرضع الذين يعانون من تشوهات خلقية ومسجلين في دائرة صحة منطقة بابل.
تم استخدام برامج إحصائية لتحديد معلمات نموذج ثنائي الحدين السالب وتحديد أفضل طريقة.
أظهرت النتائج أن طريقة المربعات الصغيرة لإعادة الوزن التكراري هي الطريقة الأفضل، حيث كانت لديها أقل متوسط مربعات الخطأ (MSE) وأعلى معامل التحديد .
في عام 1974، أجرى العالم (بولمر) دراسة على مجموعتين من البيانات الحقيقية. المجموعة الأولى تحتوي على عدد الحيوانات الحرشفية ذات الأجنحة، التي تم صيدها باستخدام فخ الضوء. وتحتوي المجموعة الأخرى على عدد الفراشات من نوع ميلانو المجمعة.
عند مقارنة بيانات المجموعتين فيما يتعلق بمدى ملائمتها للتوزيعات (ثنائي الحدين السالب وتوزيع بواسون وتوزيع بواسون اللوغاريتمي الطبيعي المختلط)، تبين أن البيانات تتوافق بشكل أكبر مع توزيع ثنائي الحدين السالب مقارنة بالتوزيعات الأخرى، وتم تقدير معلمات التوزيع بواسطة طريقة الأمكان الأعظم.
في عام 1987، استخدم العالم نيلدر نموذجا ثنائي الحدين السالب لتحليل مصائد الحشرات في تصميم القطاعات المتداخلة، ويقوم أيضا بدراسة الخصائص الإحصائية لوظيفة شبه الأمكنة الموسعة بناء على هذا التصميم.
كما تم استخدامه في عام 2005 (هيلب) لتحليل التتابع السالب ثنائي الحدين، حيث تم استخدامه في آلية إدارة الآفات الحشرية وتقليل خطورتها.

اقرأ من هنا: موضوع تعبير عن نظرية فيثاغورس

بهذه الطريقة، يتم تسمية ثنائي الحدين بسبب وجود حالتين في واحد، سواء كانت حالة جيدة أو سيئة، متطابقة أو غير متطابقة، معيبة أو غير معيبة. إنها تعتبر دالة توزيع ثنائي الحدين الحالة العامة لتوزيع ثنائي الحدين المفكوك، وبالتالي تستخدم في حل العديد من المسائل وتكتسب أهمية كبيرة ليست مقتصرة على مجال الرياضيات فحسب.