شرح الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة، يعد من أكثر المواضيع التي يبحث عنها الطلاب في مراحلهم التعليمية المختلفة، والفرق بين مربعين أو ما يعرف بفرق المربعين يمثل أحد أشكال المعادلات ذات الدرجة الثانية، ويعني ذلك أننا نقوم بطرح مربع العدد الأول من مربع العدد الثاني.
مفهوم الفرق بين مربعين
- قبل أن نشرح لكم كيفية شرح الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة، يجب أن نوضح أولا مفهوم الفرق بين مربعين، حيث يعد مفهوم الفرق بين مربعين من المفاهيم الرياضية التي تندرج ضمن علم الجبر كمعادلة من الدرجة الثانية.
- هذا المفهوم يعتبر قانونا من أشهر قوانين الرياضيات وأكثرها استخداما في مختلف العلوم والمراحل الدراسية للطلاب.
- والعالم الخوارزمي هو أول من اكتشف معادلات الدرجة الثانية، وهذه المعادلات تحتوي على الفرق بين مربعين، حيث يتم تمثيل الأس بالرقم اثنين فيها، ويتم حل هذه المعادلات وايجاد قيم المجاهيل فيها بعدة طرق، ومن بين هذه الطرق طريقة الفق بين مربعي حدين، والتي تعتمد على جداء الفرق بين هذين الحدين في مجموعهما.
- أي أن الفرق بين مربعي الحد الأول والحد الثاني يساوي (الحد الأول – الحد الثاني) × (الحد الأول + الحد الثاني)، ويأتي تسمية المربعين أو مربع الحدود من شكل المربع ذاته.
- حيث يتم اعتبار الحد الأول كطول ضلع المربع الأول، والحد الثاني كطول ضلع المربع الثاني، والفرق بين هاتين المربعتين يعتبر مثل الفرق بين مساحتي الشكلين المربعين نفسهما.
إليكم من هنا: الرسم البياني في الرياضيات
شرح الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة
1- كيفية التحقق من أن المقدار الجبري هو الفرق بين مربعين
- قبل أن نشرح طريقة شرح الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة، يجب أن نتأكد أولا من أن هذا القيمة الجبرية أو المعادلة تتبع الشكل العام لقانون الفرق بين مربعين متجاورين وأنها يمكن استخدامها في حلها.
- يتم التحقق من ذلك بالتحقق من عدة أمور، منها أن نلاحظ أن هذه المعادلة تحتوي فقط على حدين جبريين وليس أكثر.
- بالإضافة إلى التأكد من أن هاتين المتغيرتين هما مربعتين كاملتين، وفي حال عدم تحقيق ذلك فيجب أن نحاول إيجاد العامل المشترك بينهما إن أمكن ذلك.
- تنبه إلى إشارة الحد الأول الكبير والحد الثاني الصغير. إشارة الحد الأول الكبير إيجابية، وإشارة الحد الثاني الصغير تطرح من الحد الأول سلبية. الأس في كلا الحدود موجب ويساوي العدد اثنين أو مضاعفاته.
2- طريقة تحليل الفرق بين مربعين
- بعد أن فهمنا المفهوم المختلف بين مربعين وكيفية التحقق من شكلهما العام، نصل الآن إلى طريقة تحليل الفروق بين المربعين في الرياضيات، وسنقدم بعض الأمثلة لذلك في وقت قريب. إن طريقة التحليل بسيطة جدا وغير معقدة، ويمكن للطلاب فهمها بسهولة من خلال الخطوات التالية.
- في البداية، نحاول إيجاد العامل المشترك الأكبر بين هاتين الحالتين، وإذا توفر، نقوم بإخراجه من المقدار الجبري خارج القوس، مع الانتباه إلى ضربه في جميع العوامل في نهاية عملية التحليل.
- ثم يتوجب علينا أن نجد الجذرين التربيعيين لهاتين القيمتين، والجذر التربيعي هو المفهوم المعاكس تماما لمفهوم مربع القيمة الحدية، حيث يعني مربع القيمة الحدية ضرب هذا العدد في نفسه، أما الجذر التربيعي فيعني إيجاد القيمة التي إذا تم ضربها في نفسه نحصل على النتيجة.
- بمعنى أن مربع العدد ثلاثة هو ناتج ضربه في نفسه، وبذلك نحصل على العدد تسعة ونطلق عليه اسم مربع الثلاثة. وللعثور على الجذر التربيعي للعدد تسعة، نقوم بعكس العملية ونبحث عن العدد الذي إذا تم ضربه في نفسه سيعطينا العدد تسعة. والإجابة هي العدد ثلاثة، ونسميه الجذر التربيعي للعدد تسعة.
- وبعد إجراء الخطوات السابقة، نحاول تحويل المعادلة الجبرية أو المعادلة التي نريد تحليلها من صيغة الفرق بين مربعين، والتي تكون على الصورة (س2-ع2).
- ثم نقوم بفتح أقواس صغيرة لكتابة مجموع الجذر التربيعي للعددين الحدودين بين الأقواس الأوليين، وبين الأقواس الثانويين نكتب الفرق بين الجذر التربيعي للعددين الحدودين، ونضع علامة الضرب بين الأقواس كلاهما.
- تتحول صيغة تحليل الفرق بين مربعين إلى الرموز التالية، (س^2 – ع^2) = (س – ع) × (س + ع)، بينما تأخذ صيغة عبارة جبرية الشكل العام التالي، (المربع الكامل للحد الأول – المربع الكامل للحد الثاني) = (الحد الأول – الحد الثاني) مضروبا في (الحد الأول + الحد الثاني).
ومن هنا يمكنكم التعرف على: ما هي الخوارزميات في الرياضيات؟
3- أمثلة على تحليل الفرق بين مربعين
يبحث معظم الطلاب عن كيفية تحليل الفروق بين مربعين في الرياضيات مع الأمثلة التوضيحية لهذا المفهوم وترسيخ طريقة التحليل في أذهانهم. حيث تلعب الأمثلة المحلولة دورا عمليا في شرح المفاهيم النظرية وربطها بالواقع وتعزيز فهمها بشكل أفضل. فيما يلي نقدم لكم أمثلة عن تحليل الفروق بين مربعين.
المثال الأول
- على سبيل المثال، عندما يكون السؤال كالتالي: 9س² – 4، يمكننا تحليله إلى عوامله الأولية. نلاحظ أن الحد الأول 9س² يعبر عن مربع كامل وجذره التربيعي هو 3س، أما الحد الثاني 4 فيكون مربعا كاملا وجذره التربيعي هو العدد
- لتحليل الفرق بين المربعين السابقين، يتم تطبيق القانون الذي شرحناه في الخطوات السابقة، حيث يكون ناتج التحليل هو (3س – 2) × (3س + 2).
المثال الثاني
- إذا طلب مثلا من الطالب تحليل كثير الحدود من الشكل 3 س2– 27، ففي هذه الحالة يكون الأمر مختلفا حيث نجد أن هناك عاملا مشتركا أكبر بين الحد الأول والحد الثاني، وهذا العامل المشترك هو الرقم ثلاثة. لذا، نقوم بإخراج الرقم ثلاثة من القوس قبل إجراء عملية التحليل.
- بعد إخراج العامل المشترك، يكون شكل المقدار الجبري هو 3(س2_ 9)، وبما أن العدد 3 غير موجود، يمكننا الآن تحليل الفرق بين المربعين لأنه أصبح في الشكل المطلوب، وبعد التحليل، نستعيد الرقم 3 من خارج الأقواس لنضربه فيها جميعها.
- نجد أن الحد الجبري الأول يمثل مربعا كاملا، وجذره التربيعي يساوي `س`. ونجد أيضا أن الحد الجبري الثاني يمثل مربعا كاملا، وجذره التربيعي يساوي العدد 3. لذلك، فإن تحليل الحدود السابقة يكون عبارة عن 3(س-3) × (س+3). ومن المعروف أن عدم وضع أي إشارة بين العدد والقوس اللاحق يعني الضرب.
المثال الثالث
- عندما يبحث طلاب المدارس عن كيفية شرح الفرق بين مربعين في الرياضيات مع أمثلة، غالبا ما يبحثون عن حلول التمارين الصعبة أو المختلفة قليلا. على سبيل المثال، عندما يكون المقدار الجبري من الشكل -4+ س2، نلاحظ أن هذا المقدار ليس من الشكل العام لفرق المربعين.
- وفي هذه الحالة قد يكون من الصعب على الطالب تحليلها، لذلك سنشرح لكم كيفية القيام بهذا بسهولة، في هذا المثال نقوم بتبديل مكان هاتين القيمتين بحيث يصبح المقدار من الشكل س2-4، وبذلك يصبح من الشكل التقليدي الذي يمكننا تطبيق قانون تحليل الفرق بين مربعين.
- لذا فإن الحد الأول هو س2 وجذره س، والحد الثاني هو 4 وجذره العدد 2، وبالتالي يكون نتيجة التحليل هي (س- 2) مضروبا في (س+ 2).
ننصحكم بزيارة مقال: ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟
وفي هذه النقطة، نكون قد وصلنا إلى نهاية هذا المقال الذي شرحنا فيه طريقة تحليل الفرق بين مربعين في الرياضيات بوضوح، مع تقديم أمثلة كافية وشاملة لذلك، بالإضافة إلى شرح مفهوم المربعين الحدين وأصل تسميتهما، نأمل أن يكون هذا المقال مفيدا لكم.
