ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟، عندما ولدت الأرقام والأعداء، ولد معها علم الرياضيات، فسعى العلماء في البحث فيها، ليساعدهم في الهندسة والفلك وغيرها من العلوم، فكانت من أوائل الأعداد التي اكتشفها العلماء هي الأعداد النسبية، فما هي الأعداد النسبية في الرياضيات.
الأعداد
- تعتبر الأرقام والأعداد لغة الرياضيات، حيث تستخدم للتعبير عن الكميات، وهي أساس علم الرياضيات وتستخدم في العمليات الحسابية اليومية مثل حساب الأيام أو الشهور أو السنوات.
- هناك اختلافات في شكل الأرقام ونطقها وطريقة كتابتها في كل ثقافة ولغة، تماما كما تختلف كل لغة عن اللغات الأخرى وفقا للثقافة، فهناك أرقام عربية وأرقام هندية.
- يجدر الإشارة إلى الاختلاف بين الأعداد والأرقام، حيث الأرقام تمثل الرمز الرياضي، بينما الأعداد تعبر عن اسم أو صفة تصف كمية الأشياء أو ترتيبها.
- ساهم العلماء بشكل كبير في اكتشاف الأرقام وتطورها، ومن أبرزهم العالم المسلم الخوارزمي، حيث اكتشف الصفر الذي يمكن للإنسان من خلاله العد إلى لانهاية.
- قام العلماء بتصنيف الأرقام إلى مجموعات وفقا لخصائصها، بما في ذلك مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية ومجموعة الأعداد الصحيحة والطبيعية والحقيقية.
ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟
- يمكن تعريف الأعداد النسبية على أنها الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل كسر بسط ومقام، مع شرط ألا يكون المقام يساوي الصفر، لأنه إذا كان الصفر سيكون للكسر قيمة غير معرفة.
- مصطلح النسبية مشتق من المفهوم الرياضي للنسبة، والذي يعني مقارنة بين عددين في الكسر، حيث يكون العدد الصحيح في البسط مقسوما على العدد الصحيح في المقام.
- وبهذه الطريقة يسهل علينا التعرف على مجموعة الأعداد الصحيحة بشكل أفضل مقارنة بالمجموعات الأخرى من الأعداد المتنوعة، حتى وإن كان هناك احتمال لتداخل المجموعات المختلفة للأعداد.
- عندما نتحدث عن العدد +٧، فإننا نعني عددا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، حيث يكون عددا صحيحا وموجبا، وعلاوة على ذلك، ينتمي أيضا إلى مجموعة الأعداد النسبية، حيث يمكن تمثيله على شكل +٧/١، وهذا يعني أن المقام يكون مساويا للواحد.
- بناء على ذلك، الأعداد النسبية هي جميع الأعداد الموجبة والسالبة، بما في ذلك الصفر، ويمكن تمثيلها جميعا على شكل كسر.
- عند كتابة العدد النسبي، نضع إشارة سالبة قبالة الكسر أو بجانب العدد في البسط. على سبيل المثال، يكون العدد ٤/٣ بصورته السالبة أو عكسية هو ٤/٣-، وتكون ٤-/٣ صورة خاطئة.
- حيث إن هذه هي الصورة القياسية لكتابة الكسر السالب، ويمكننا أن نكتب الأعداد العشرية على صورة بسط ومقام لأي عدد على صورة أعداد نسبية.
- على سبيل المثال، يمكننا تمثيل العدد 0.65 بالنسبة المئوية كـ 100/65، وذلك عن طريق ضرب العدد 10 في جميع أرقام البعد العشري.
- يمكن أيضا كتابة الأعداد العشرية الدورية على شكل أعداد نسبية، فعلى سبيل المثال، يمكننا كتابة العدد ٠.٤٤٤٤٤ على شكل ٤/١، وهذا يسهل التعامل مع الأرقام.
أمثلة على الأعداد النسبية
جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية، إذ تتكون من بسط يكون العدد نفسه ومقام يكون دائما واحدا ولا يتم كتابته، وسنوضح ذلك في الأمثلة التالية
- الرقم ٢ هو عدد نسبي، حيث يمكن كتابته على شكل ٥/١ ولا يتغير قيمته.
- الرقم -١٥ هو عدد نسبي، حيث يمكن كتابته على شكل كسر بسط ومقام وهو -١٢/١، ولكن لا يمكن كتابته -١٢/٠، حيث أن العدد النسبي لا يمكن أن يكون المقام صفر.
الكسور والأعداد الكسرية
- يمكن كتابة جميع الكسور الممكنة على شكل بسط ومقام. إذا كانت الأعداد أ وب عبارة عن أعداد صحيحة، وقيمة ب المقام لا تساوي الصفر، فإنها تعتبر أعداد نسبية.
- كما تعتبر الأعداد الكسرية المطابقة للشروط أعدادا صحيحة، حيث يكون البسط والمقام أعدادا صحيحة والمقام لا يساوي الصفر، وهي أيضا أعداد نسبية.
بعض الأمثلة على الكسور والأعداد النسبية
- الكسر ٦/٣٣ هو كسر نسبي، حيث إن العددين -٣٣ و٦ هما عددين صحيحين والمقام يساوي ٣٣ وليس صفرا.
- كسر العدد ٢٤/٨ يعتبر نسبيا لأن كلا من البسط والمقام أعداد صحيحة ولكن المقام ليس يساوي الصفر.
- ومع ذلك، يجب أن نلاحظ أن بعض الكسور والأعداد الكسرية ليست أعدادا نسبية. على سبيل المثال، العدد ١٢٢ وصفر، على الرغم من أن كلاهما عدد صحيح، إلا أن ١٢٢/٠ ليس عددا نسبيا، حيث يكون المقام يساوي الصفر وبالتالي قيمة العدد غير معرفة.
- الكسر 3/π ليس عددا نسبيا، على الرغم من أن المقام عدد صحيح، ولكن لا يمكن اعتبار π عددا نسبيا.
الكسور العشرية
إذا كانت الكسور دورية أو منتهية، يمكن اعتبارها أعداد نسبية، حيث يمكن كتابتها على شكل بسط ومقام أ/ب كما في الأمثلة التالية
- يمكن تعبير العدد ١.٩ بالشكل ١.٩/١ ليصبح عددا نسبيا، وإذا قمنا بضرب البسط والمقام في العدد ١٠ سينتج لدينا العدد ١٨/١٠ وهو أيضا عدد نسبي، فالعدد ١٩ والعدد ١٠ هما عددين صحيحين والعدد ١٠ في المقام لا يساوي الصفر.
- الكسر العشري الدوري ٢.٢٢٢ يمكن أن يتم تمثيله على شكل عدد كسري يساوي ١/٢ وهو عدد نسبي، ويمكن ضرب البسط والمقام في العدد ٢٠ ليصبح ١٠/٢٠ وهو عدد نسبي، حيث يكون البسط والمقام عددين صحيحين والمقام يساوي ٢٠ وليس صفرا.
أمثلة على الأعداد غير النسبية
هذه الأمثلة من بين الأعداد الشهيرة غير النسبية وهي كذلك
- العدد النيبيري (ه) هو كسر عشري غير منتهي، وتمثل الأرقام العشرية الأولى منه المنازل العشرية، وقيمته تساوي 2.718281828459045235360287471352
- العدد باي (π) هو كسر عشري غير متناهي، وهذه هي أولى خاناته العشرية: 3.1415926535897932384626433832795.
- توجد بعض الجذور التربيعية والتكعيبية التي تنتج كسورا عشرية غير منتهية، على سبيل المثال، جذر العدد ٣ في التربيع ويكون مساويا لـ…1.7320508075688772935274463415059.
- أو الجذر التربيعي للعدد 99 وهو يساوي ….9.9498743710661995473447982100121.
- ومع ذلك، ليست جميع الجذور التربيعية والتكعيبية أعدادا غير نسبية، ويمكن توضيح ذلك في مثال الجذر التربيعي للعدد ١٦ والذي يساوي ٤ وهو عدد نسبي.
- أو عند ضرب جذرين غير نسبيين مثل ضرب جذر ٣ في جذر ٣، يكون الناتج ٣ وهو عدد نسبي.
العمليات الحسابية على الأعداد النسبية
العدد النسبي هو عبارة عن عدد يمكن إجراء العمليات الحسابية عليه مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح، وعندما نتعلم المهارات الأساسية للتعامل معه، يمكننا إجراء هذه العمليات بسهولة تامة، حيث يمكننا تنفيذ العمليات الحسابية عليه بكل يسر وسهولة
- الجمع: يمكن جمع الأعداد الكبيرة مع بعضها شريطة أن تكون المقامات متساوية، فيتم جمع البسط مع البسط وتثبيت قيمة المقام، أي نجمع البسط مع البسط ونحصل على نفس المقام في الناتج.
- الطرح: يمكننا أن نقوم بعملية الطرح بنفس طريقة الجمع، حيث لا يمكن طرح العددين المطروحين من بعضهما إلا إذا كانت أقسامهما متساوية، فنقوم بطرح البسطين من بعضهما ويكون الناتج على نفس المقام.
- الضرب: نقوم بتنفيذ عملية الضرب عن طريق ضرب البسط في البسط وضرب المقام في المقام، ثم نضع ناتج ضرب البسط في بسط الناتج وناتج ضرب المقامات في بسط المقام.
- القسمة: في عملية القسمة علينا أن نحافظ على الكسر الأول كما هو، ونقوم بعكس الكسر الثاني بحيث يصبح المقام بسطا والبسط مقاما، ثم نحول عملية القسمة إلى عملية ضرب، ونقوم بضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
خصائص الأعداد النسبية
تتلخص خصائص الأعداد النسبية في التالي:
- عند ضرب عدد صحيح غير مساو للصفر في العدد النسبي، يظل العدد النسبي قيمته كما هي ولا يتغير. فهذا الضرب لا يعد ضربا بنفس النسبة لأرقام البسط والمقام. على سبيل المثال، إذا ضربنا ٢/٤ في ٢، ستكون النتيجة ٤/٨، وعند تبسيطها، ستكون النتيجة ٢/٤.
- إذا قمنا بقسمة النسبة العشرية على عدد صحيح بمقام غير صفر، فإن قيمة النسبة العشرية لا تتغير ولا تتأثر هذه القسمة على النتيجة، على سبيل المثال قمنا بقسمة ٦ على ٣٠ على ٣، فكانت النتيجة ٣ على ١٦ وهي نسبة عشرية مبسطة.
- عند قيامنا بجمع أو طرح عددين نسبيين، يجب أن يكون الناتج عددا نسبيا ولا يمكن أن يكون غير ذلك.
- عندما نضرب أو نجمع عددين نسبيين لهما نفس المقام، يجب أن يكون الناتج له نفس المقام، ويكون البسط عبارة عن جمعهما أو طرحهما.
- عند ضرب عددين نسبيين، يكون الناتج ضرب الوسطين على ضرب المقامين.
- عندما نقوم بأخذ الجذر التربيعي للعدد، سيكون الناتج دائما عددا نسبيا، وسيكون العدد الموجب الموجود داخل الجذر.
- قد يكون الضرب المتعدد لأعداد غير نسبية مثل جذرين مع عدد نسبي مثل ضرب جذر ٣ بجذر ٤، يعطي الناتج ١٢ وهو عدد نسبي.
- يطلق على النسبة النسبة القياسية للعدد النسبي إذا كانت لا يمكن اختصارها أكثر من ذلك، أي أن العامل الوحيد المشترك بين البسط والمقام هو الواحد الصحيح.
- عند جمع أو طرح الأعداد غير النسبية، لا يمكن الحصول على أعداد نسبية ما لم تكن الأعداد النسبية متساوية ولكن بإشارات مختلفة، فيكون الناتج عددا نسبيا وهو الصفر. وتسمى العلاقة بين هاتين الأعداد علاقة العكس الجمعي.
الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية
- العدد النسبي: يطلق على أي عدد يمكن كتابته على شكل كسر بسط ومقام اسم العدد النسبي، على أن يكون الرقمان في البسط والمقام صحيحين وأن المقام لا يساوي الصفر، بغض النظر عما إذا كان العدد إيجابيا أو سالبا.
- العدد الغير نسبي: نسمي العدد الذي لا يمكننا كتابته على شكل كسر عادي بسط ومقام للعدد غير النسبي مثل جذر التربيعي للعدد ٥، فهو كسر عشري غير منته عند رقم محدد ويستمر إلى ما لا نهاية.
في نهاية رحلتنا مع مفهوم الأعداد النسبية في الرياضيات، قسم علماء الرياضيات الأعداد وفقا لخصائصها، مما أدى إلى تشكيل مجموعات مختلفة، بما في ذلك مجموعة الأعداد النسبية. في هذا المقال، شرحنا مفهوم الأعداد النسبية في الرياضيات والفروقات بينها وبين الأعداد غير النسبية وخصائصها.
