ما هي الأعداد الصحيحة بشكل عام

ما هي الأعداد الكلية؟، غالبا ما يختلف طلابنا في الأعداد، ولا يعرفون الاختلاف بين مجموعات الأعداد المختلفة.

ولذلك سوف نتعرف على ما هي الأعداد الكلية؟ وما الفرق بينها وبين مجموعات الأعداد الأخرى؟

تاريخ الأعداد

• منذ القدم، كان الإنسان حريصا على استخدام الطرق الحسابية لفهم البيئة المحيطة به.
  • وبالتالي، كان يلزمهم استخدام الأرقام، والمؤرخون ذكروا أن الإنسان القديم لم يكن يستخدم الأرقام، بل كان يعتمد على أصابع يديه والحصى والعصي للعد وإجراء العمليات الحسابية.
• تطورت الحضارات وازدهرت الأفكار والعلوم، وتم اختراع العداد في الحضارة البابلية القديمة.
  • كونها طريقة معتمدة للعد، ظهرت رموز الأعداد في الحضارة المصرية القديمة ولكن ليس جميع الأعداد.
• على سبيل المثال، في الحضارة المصرية القديمة، كان يتم التعبير عن الرقم 1000 بواسطة رمز زهرة اللوتس والرقم 100 بواسطة رمز مقياس النيل، وكان الأعداد تقرأ من اليمين إلى اليسار ومن الأعلى إلى الأسفل.
• قام الإغريق بتطوير نظام الأعداد المصري وجعله أكثر سهولة، وذلك عن طريق استخدام الحروف اليونانية بدلا من الرموز المصرية، وبذلك تم تمثيل جميع الأعداد برموز أقل تقريبا.
• استخدم الإغريق رموزا للأعداد من 2 إلى 9، ورموزا للأعداد من 20 إلى 90، ورموزا للأعداد من 200 إلى 900، حيث كان لكل رقم رمزا أو رمزين على الأكثر.
• كان هذا النظام العددي أسهل من النظام المصري، على سبيل المثال، للتعبير عن العدد 87 في النظام المصري يتطلب حوالي 15 رمزا، أما في النظام اليوناني يتطلب فقط 3 رموز، رمزين للعدد 7 ورمز واحد للعدد 80.
• بعد ذلك، قام العلماء المسلمون بتطوير الأعداد، ويعزى الفضل للعالم المسلم الخوارزمي في اختراع العدد صفر. كان الإغريق والرومان يعتبرون أن العدد صفر غير موجود، وكانوا يعتبرون ذلك جنونا وهرطقة وكفرا أيضا.

الأعداد

• كما أشرنا، لم تظهر رموز الأعداد إلا في الحضارة المصرية القديمة.
  • استخدم المصريون القدماء رموزا من بيئتهم المحيطة للتعبير عن الأعداد، مثل القوس للرقم 10، وزهرة اللوتس للرقم 100، والضفدع للرقم 10000، وهكذا.
• قام الإغريق بتطوير هذه الرموز واستخدموا الحروف الهجائية للتعبير عن الأعداد، مما سهل عملية العد والتعبير عن الأرقام.
  • على سبيل المثال، كان الحرف X يعبر عن الرقم 10 وكان الحرف V يعبر عن الرقم 5.
• فيما يتعلق بالأعداد، استخدم العرب الأرقام الهندية 0 – 1 – 2 – 3 وغيرها، ورغم أنها أرقام هندية، أطلق عليها العرب اسم الأعداد العربية لأنهم هم من قدموها للعالم في أوروبا والغرب.
• الأرقام الإنجليزية الحالية 0 – 1 – 2 – 3 هي الأرقام العربية التي ابتكرها واستخدمها العرب.
• مع تطور اللغات، تطورت الأرقام وهناك رموز مختلفة للأرقام في مختلف بلدان العالم.
  • وذلك بسبب أهمية الأعداد في الحياة اليومية وحياة الإنسان بشكل عام، ومن هنا يأتي أهمية تقسيم الأعداد إلى مجموعات.

لا يفوتك قراءة: أهمية نظرية فيثاغورس في الرياضيات

مجموعات الأعداد

تم تقسيم الأعداد إلى مجموعات لتسهيل العمليات الحسابية وتوضيح فهم المسائل الرياضية، وقد قام علماء الرياضيات بتقسيم مجموعات الأعداد إلى المجموعات التالية

• مجموعة الأعداد الكلية أو أعداد العد هي المجموعة الأولى والأساسية.
  • هي مجموعة الأعداد التي تبدأ من العدد 1 وتستمر إلى ما لا نهاية، وترمز إليها بالرمز (ك).
• مجموعة الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي تبدأ من الصفر وتستمر إلى ما لا نهاية، وترمز لها بالرمز (ط) بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة مثل 0 و 1 و 2 و 3 وهكذا.
• هي مجموعة الأعداد الصحيحة وتشمل الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الأعداد السالبة.
  • ويتم التعبير عنها بهذا الشكل (من لا نهاية إلى … 3، 2، 1، 0، 1، 2، 3، إلى لا نهاية) وترمز إليها بالرمز (ص).
• يمكن تجزئة مجموعة الأعداد الصحيحة إلى مجموعتين فرعيتين، الأولى تضم الأعداد الصحيحة السالبة (بدءا من 3، 2، و 1 وما بعدها)
  • تشمل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الأعداد 1 و2 و3 وهكذا إلى ما لا نهاية، حيث توافق العلماء على أن العدد صفر ليس موجبا ولا سالبا.
• الأعداد النسبية، الممثلة بالرمز (ن)، تشير إلى جميع الأعداد الصحيحة التي يمكن تمثيلها من خلال الكسور بشرط أن المقام لا يكون صفرا.
  • وبالتالي يطلق عليها أيضا مجموعة الأعداد الكسرية لأنها تمثل عن طريق الكسور.
• مجموعة الأعداد اللا نسبية هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن تمثيلها على شكل كسور، مثل الأعداد الموجودة تحت الجذر التربيعي مثل 2
• هي مجموعة الأعداد الحقيقية وتشمل أيضا المجموعة النسبية والمجموعة غير النسبية.
  • وتشمل هذه كل الأعداد التي يتم التعامل معها، وهي أكبر مجموعات الأعداد وترمز إليها بالحرف (ح).
• مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة خاصة تشمل مجموعة الأعداد الطبيعية التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العدد 1 مثلا (1 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 إلى ما لا نهاية).
• جميع مجموعات الأعداد هي مجموعات لا نهائية.

شاهد من هنا: ما هي الأعداد الأولية والأعداد الغير أولية في الرياضيات

ما هي الأعداد الكلية؟

• الأعداد الكلية هي مجموعة الأعداد المستخدمة في العمليات الحسابية أو العد.
  • وبالتالي فهي معروفة أيضا بمجموعة الأعداد العدية، وترمز إلى المجموعة الكلية للأعداد بالرمز (ك).
• يمكن أيضا تعريف الأعداد الكلية على أنها مجموعة الأعداد الطبيعية مع استثناء الصفر {ك} = {ط} – صفر.
• مجموعة الأعداد الكلية هي مجموعة أصغر من مجموعة الأعداد الطبيعية وتحتوي على أعداد جزئية منها.
  • تعد مجموعة الأعداد الطبيعية جزءا من مجموعة الأعداد الصحيحة، ومجموعة الأعداد الصحيحة تكون جزءا من مجموعة الأعداد الحقيقية.
• أيضا، مجموعة الأعداد الكلية هي 1، 2، 3، 4،… إلى ما لا نهاية.
• هو أيضا مجموعة الأعداد الكلية K = {1،2،3،4،…..}
• {ك} {ط} {ص} {ن} {ح} حيث ك تمثل مجموعة الأعداد الكلية، ط تمثل مجموعة الأعداد الطبيعية، ص تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة، ن تمثل مجموعة الأعداد النسبية، ح تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية.

خصائص الأعداد الكلية

• الأعداد الكلية هي 1 و2 و3 وهكذا إلى ما لا نهاية، وهي أعداد إيجابية فقط، ولا يتم تضمين الصفر فيها، ولا تحتوي على أعداد سالبة أو كسور أو أعداد عشرية.
• عند ضرب وقسمة وجمع الأعداد الكلية، يكون الناتج دائما رقما موجبا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الكلية.
• طرح الأعداد الكلية يكون دائما عددا موجبا في حالة واحدة وهي طرح العدد من نفسه.
  • بالتالي، يكون الناتج صفر، والصفر ليس عددا موجبا أو سالبا ولا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الكلية.
• من غير الممكن في أي حالة عند إجراء أي من العمليات الحسابية أن يكون الناتج قيمة سالبة أو عشرية أو كسرية.
• يمكن أجراء العمليات الحسابية من مجموعة أعداد العد مع أي مجموعة أخرى من مجموعات الأعداد.
  • وينتمي الناتج إلى مجموعة أعداد أخرى وينتمي إلى مجموعة الأعداد الكلية إذا كان إيجابيا فقط وليس كسريا وليس عشريا ولا يساوي الصفر.

ما هي الأعداد الطبيعية؟

• الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الإيجابية بالإضافة إلى العدد صفر، وهي مجموعة من الأعداد التي لا تنتهي.
• ترمز الأعداد الطبيعية بالرمز ط في العمليات الحسابية باللغة العربية.
  • في اللغة الإنجليزية، الرمز N يشير إلى الأعداد الطبيعية، والحرف N يعني Natural Numbers.
• مجموعة الأعداد الطبيعية هي ط = {0، 1، 2، 3، 4، …} حيث يشير الرمز إلى اللانهائية.
• من خصائص الأعداد الطبيعية الجبرية أن مجموعة الأعداد الطبيعية تتمتع بخاصية الإغلاق والتجميع والتبادل والتوزيع، ويعتبر الصفر عددا محايدا، أي أنه ليس عددا إيجابيا أو سالبا.
• مجموعة الأعداد الطبيعية {ص} هي جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة {ص} .
  • مجموعة الأعداد الصحيحة هي جزء من مجموعة الأعداد النسبية {ن}، ومجموعة الأعداد النسبية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية {ح}.

ما لا تعرفه عن الأعداد الطبيعية

• مجموعة الأعداد الطبيعية تمثل الأعداد الصحيحة الموجبة بدون الأعداد السالبة.
  • أو بمعنى آخر، مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة بالإضافة إلى العدد صفر.
• {ط} {ص} {ن} {ح} حيث ط هي مجموعة الأعداد الطبيعية، وص هي مجموعة الأعداد الصحيحة.
  • ن هي مجموعة الأعداد النسبية، ح هي مجموعة الأعداد الحقيقية.
• مجموعة الأعداد الطبيعية هي 0، 1، 2، 3 وهكذا إلى ما لا نهاية، ولا تحتوي على أي أعداد سالبة أو كسرية أو عشرية أو أعداد تحت الجذر.
• عمليات الضرب والقسمة والجمع والطرح على الأعداد الكلية تعطي دائما نتيجة إيجابية تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.
  • إذا كان الناتج يساوي الصفر، فإنه ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكنه عدد محايد، أي أنه ليس موجبا ولا سالبا.
• مهما كانت العمليات الحسابية التي تتم على مجموعة الأعداد الطبيعية، فإنه لا يمكن أبدا أن يكون الناتج قيمة سالبة أو عشرية أو كسرية.
• يمكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام مجموعة الأعداد الطبيعية وأي مجموعة أخرى من مجموعات الأعداد.
  • إذا كان الناتج ينتمي إلى مجموعة الأعداد الأخرى وينتمي أيضا إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، فإنه يكون موجبا فقط ولا يكون كسريا أو عشريا أو عددا سالبا.

ننصح بقراءة: اختبار رياضيات لقياس الذكاء

الأعداد الكلية هي أصغر مجموعات الأعداد وهي التي يبدأ الأطفال تعلمها بها، ولذا فمن الضروري معرفة ما هي الأعداد الكلية؟ فهي المجموعات التي يتعامل معها الأطفال ويدركون قيمتها وأهميتها في العمليات الحسابية والحياة اليومية.