دراسة وتحليل المعادلات والمتباينات الأسية وأنواعها بشكل شامل، إن حل المتباينات والمعادلات الأسية يعتبر من أساسيات الجبر في مادة الرياضيات.
وهي تمثل علاقات رياضية تتطلب المعرفة الكاملة بقوانين الدالة الأسية لحلها، وسيتم في هذا المقال مناقشة حل المعادلات والمتباينات الأسية وأنواعها بشكل شامل، بالإضافة إلى تبسيط مفهوم المتباينات الأسية وشرح طريقة حلها.
دراسة حلا للمعادلات والتفاضيل الرياضية وأنواعها الكاملة
- حل المعادلات والمتباينات الأسية يتضمن شقين مختلفين، وهما حل المتراجحات وحل المعادلات. تختلف المتباينات عن المعادلات بشكل عام في الإشارات الرياضية التي تنقسم بين الجانبين المتعلقين. لذلك، يجب وضع المبادئ والقوانين الرياضية المتعلقة بهما في الاعتبار والتركيز على جميع المتغيرات في العلاقة.
- كما يساعد حل المعادلات والمتباينات الأسية دائما العالم في التطور والتقدم عن طريق استخدام الأساليب الجيدة التي تسهم بشكل كبير في حياتنا، وتمكننا أيضا من استيعاب علم الرياضيات الذي يعتمد على مجموعة من المعادلات والقواعد.
- إنه مجال واسع يتضمن العديد من المسائل المهمة في حياتنا، ويعرف علم الرياضيات على أنه العلم الذي يدرس القياس والحساب.
- عرفت علم الرياضيات منذ وجود الإنسان على الأرض، وساهمت في الوصول إلى المعرفة التي تمنحنا الدافع لتحقيق أفضل الدرجات في فهم المواد العلمية التي تسهم في التعلم من الحياة، وقياس الظواهر الطبيعية. ومن خلال حديثنا عن علم الرياضيات، سنقدم لكم حلولا للمعادلات والمتباينات ذات الأس.
شاهد أيضًا: مراحل البحث العلمي وخطواته
تعريف المتباينات والمعادلات
- قبل شرح طريقة حل المعادلات والمتباينات الأسية.
- يجب أن نميز أولا بين المعادلات والمتباينات.
- في الرياضيات، المعادلة هي علاقة مساواة بين عنصرين رياضيين تتألف من رموز رياضية.
- وذلك من خلال علامة الاستقراء (=)، على سبيل المثال، تسمى المعادلة التالية: س + 5 = 9، وهي معادلة تحتوي على مجهول واحد.
- المتباينة أو المتراجحة هي علاقة رياضية بين اثنين تتضمن أحد الرموز التالية: (>؛، ≤، ≥، >؛)، وتعبر عن الاختلاف في قيمة عنصرين رياضيين. بالتالي، تعبر المتباينة عن المقارنة بين الجانبين، بينما المعادلة تعبر عن المساواة بين عنصرين.
يمكن تعريف المعادلة الأسية على أنها حالة خاصة من المعادلات، حيث يكون فيها الأس متغيرا وليس ثابتا. والصيغة العامة لهذه المعادلة هي كما يلي: أس = ب ص، حيث:
- س، وص: تكون الأسس في المعادلة الأسية وتتضمن المتغيرات التي عادة ما يتم العثور على قيمها لحل المعادلة الأسية.
- حيث تحتوي المعادلة الأسية عادة على متغير واحد فقط.
- أ، ب: تعبر عن الثوابت، وهي الأساس في المعادلة الأسية.
طريقة حل المعادلات الأسية
معادلات أسيّة لها نفس الأساس:
هي المعادلة التي تكون فيها الجانب الأيسر متساويا للجانب الأيمن من إشارة المساواة. مثال على ذلك، 4س = 49. يتم حلها باستخدام القاعدة التي تنص على أنه عندما تكون الأساسات متساوية، فإن الأسس تكون متساوية أيضا. إذا كانت المعادلة على هيئة أس = ب ص، وكانت أ = ب، فإن س = ص. فما هو الناتج لحل المعادلة الأسية التالية: 5^(3س) = 5^(7س – 2)؟
- بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس بشكل تلقائي أيضًا تتساوى، وبالتالي: 3س=7س-2، وبحل المعادلة الخطية بطرح (3س) من الجانبين، نحصل على النتيجة: 2 = 4س، ومنها: س= 1/2، ويمكننا التحقق من الحل عن طريق استبدال قيمة س في الجانبين من المعادلة.
في بعض الحالات، إذا كانت الأساسات غير متساوية، يمكن إعادة صياغة المعادلة الأسية بحيث تكون الأساسات متساوية، وذلك إذا تشترك هذه الأساسات في عامل مشترك، والمثال التالي يوضح ذلك:
- أوجد قيمة س في هذه المعادلة: 27 (4س + 1) = 9 (2س).
- لاحظنا في المثال السابق أن الأسس غير متساوية، ولكن هناك عامل مشترك بين العددين 27 و 9، وهو العدد 3، حيث يتحقق: 27 = 3 × 9.
- فإذا قمنا بتعويض هذه القيم في المعادلة الأسية فإن: (33)(4س + 1) = (32)(2س)، وعند توزيع الأسس على القوس، نحصل على: 3 (12 س + 3) = 3 (4س).
- نظرا لتكافؤ الأساسات الآن، فإن الأسس أيضا متساوية وفقا للمعادلة التالية: 12س + 3 = 4س. وبحل المعادلة الخطية، نحصل على النتيجة التالية: 8س = -3، وبالتالي س = 3/8-.
تابع معنا: طريقة عمل بحث علمي | ما هي مراحل تطور البحث العلمي
المعادلات الأُسيّة التي ليس لها نفس الأساس:
هذه المعادلة لها أسس مختلفة ومن الصعب إعادة صياغتها بحيث تكون الأسس متساوية.
مثلا، إذا كانت 7س = 9، فلا يمكن إعادة تحرير القاعدة بطريقة أخرى لتصبح متساوية في النهاية.
ولذلك، نحتاج إلى طريقة جديدة أخرى لحل هذه المسألة، وذلك عن طريق استخدام اللوغاريتمات، وفيما يلي الطريقة المقترحة:
- إذا كانت المعادلة الأُسيّة على صورة مثل هذه: إذا س = جـ، فيمكن حلها بإدخال اللوغاريتم على الجانبين على النحو التالي: لوغ س = لوغ جـ؛ حيث: أ و جـ ثوابت، وس متغير.
- وفقًا للخصائص الخاصة باللوغاريتمات فإن: لو أس = س لو أ = لو جـ.
- يجب أن نلاحظ أن أساس اللوغاريتم قد يختلف، مثل أن يكون العدد 10.
- أو ربما يكون العدد النيبيري هـ يصبح لوغاريتم طبيعي، ولتوضيح هذه الطريقة نقدم لكم المثال التالي:
مثال: ما هو حل المعادلة الأسية التالية: 4 (3 + س) = 25؟
- من الصعب إعادة صياغة المعادلة السابقة بحيث تكون القواعد متساوية، وبالتالي يجب أن يتم إدخال اللوغاريتم على الجانبين كما يلي: إذا كان 4(3+س) = لو25، وباستخدام خاصية لو أس = س لو أ، يمكننا كتابة (س+3) لو 4 = لو 25.
- سنجعل المتغير س بمفرده عن طريق قسمة الجانبين على لو4، وبالتالي نحصل على: 3+س = لو25/ لو4، ثم نطرح العدد 3 من الجانبين للحصول على: س= لو25/ لو4 – 3.
- مع استخدام الآلة الحاسبة فإن: إذا كان لو25 = 1.3979 ولو4 = 0.602، يمكن حساب قيمة س بعد استبدال هذه القيم كما يلي: س = 1.3979 / 0.602 – 3 = 2.322 – 3 = -0.678.
حل المعادلات الأسية التي تتضمن أعداداً صحيحة:
- من الممكن في بعض الأحيان أن تحتوي المعادلة الأسية على أعداد صحيحة فردية.
- تستخدم إشارة الجمع أو الطرح للتفصيل بينها وبين التعابير الأسية.
- وبعد التأكد من أن التعابير الأسية تقع بمفردها على جانب المعادلة، يمكن حل المعادلة.
- والقواعد الأخرى التي ليس لها أسس تقع في المقابل، ويوضح النموذج أدناه ذلك.
مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 3(س-5)-2 = 79؟
- لحل المعادلة المذكورة أعلاه، يجب أولا طرح العدد 2 من كلا الجانبين للحصول على: 3(س-5) = 79+2، 3(س-5) = 81.
- بما أن العدد 81 يعادل 3 × 3 × 3 × 3؛ أي 34.
- من الممكن حل المعادلة من خلال توحيد الأساس.
- وذلك كما يلي: 3(س-5)=3 4، وبالتالي، بما أن الأسس متساوية الآن، فإن الأسس أيضا متساوية كالآتي: س-5 = 4، وعند حل هذه المعادلة، ستكون س تساوي 9
تابع معنا: بحث حول رحلات الإنسان إلى القمر
أنواع المعادلات
بعد شرح كيفية حل المعادلات والمتباينات الأسية ، يجب الآن تحديد أنواع المعادلات الجبرية.
والتي يتم تقسيمها حسب عناصرها ومكوناتها إلى ما يأتي:
- المعادلات الحدودية: معادلة تعادل بين حدود متعددة، وحدود متعددة أخرى.
- المعادلات الجبرية هي علاقة تساو بين عنصرين جبريين، حيث يحتوي أحدهما أو كلاهما على متغير واحد على الأقل.
- المعادلات الخطية هي معادلات جبرية بسيطة تسمى معادلات من الدرجة الأولى.
- المعادلات المتسامية: المعادلة التي تحتوي على دالة متسامية، أي دالة مثلثية أو أسية أو معكوساتها.
- والمعادلات التفاضلية: هذه هي المعادلات التي تربط الدالة بمشتقاتها.
- المعادلات الديفونتية: تم تسميتها بهذا الاسم نسبة إلى العالم اليوناني ديوفنطس.
- إنها معادلة حدودية تتألف من متغيرات متعددة يمكن حلها بأعداد صحيحة أو يمكن إثبات استحالة حلها.
- والمعادلات الدالية: وهذه المعادلات التي تكون فيها الحجمات المجهولة أو المجاهيل دوالا بدلا من مجرد متغيرات.
- المعادلات التكاملية: إنها معادلة تضم دالة غير معروفة إلى جانب رمز التكامل.
أنواع المتباينات
القيم المختلفة مقسمة بين المعقدة والبسيطة، ومنها ما يعرف بالمتغيرات المشهورة في علم الرياضيات، ونذكر منها ما يلي:
المثلثية المتباينة: وتعني أن طول أي ضلع في المثلث يكون دائما أقل من مجموع طولي الضلعين الآخرين، ويكون أكبر من الفارق بينهما.
- تسمى عدم المساواة Cauchy-Schwarz، وذلك نسبة إلى اسم العالم الروسي شوارتز والفرنسي كوشي.
- فيما يتعلق بعلم المثلثات والقواعد الإقليدية
- عدم المساواة في الوظائف للعالم الروسي أندريه ماركوف.
- متباينة برنولي السويسرية للدالة الأسية.
تمثل المتباينات والمعادلات جزءًا هامًا جدًا من فروع علم الجبر، ولها استخدامات متعددة، وقدمنا لكم بحثًا شاملاً عن حل المعادلات والمتباينات الأسية وأنواعها، وشرحنا أن لها أشكالًا متنوعة ومتعددة، نتمنى أن يحوز المقال على إعجاب جميع محبي علم الرياضيات.
