يقدم موقع مقال mkaal.com لكم بحثا عن الهندسة في الرياضيات. الهندسة هي مجال أصلي في الرياضيات وتعتبر أقدم العلوم. يمكن تتبع جذورها إلى عصر إقليدس وفيثاغورس وغيرهم من الفلاسفة الطبيعيين في اليونان القديمة.
مقدمة بحث عن الهندسة في الرياضيات
- في بداية البحث عن الهندسة في الرياضيات، نجد أنه تم دراسة الهندسة لفهم الأشياء المادية في العالم الذي نعيش فيه، ولا يزال هذا التقليد مستمرا حتى يومنا هذا.
- على سبيل المثال، يمكن أن نشاهد النجاح المدهش لنظرية النسبية العامة لأينشتاين، وهي نظرية هندسية خالصة تصف الجاذبية من خلال انحناء `الزمكان` في أربعة أبعاد.
- وبالرغم من ذلك، تتعدى الهندسة التطبيقات المادية، ولا يكون من الغرابة أن نقول أن الأفكار والأساليب الهندسية تتسلل دائما إلى كافة مجالات الرياضيات.
- في اللغة الحديثة، يكون الهدف الرئيسي للدراسة في الهندسة متشعبا، وهو كائن يمكن أن يكون له شكل عام معقد، ولكن من منظور صغير يبدو كفضاء عادي ذو بعد محدد.
- كما هو الحال مع المشعب أحادي البعد ، يظهر الأجزاء الصغيرة منه بشكل خط ، على الرغم من أنه عموما يبدو كمنحنى وليس خطا مستقيما متفرع ثنائي الأبعاد.
- على نطاق صغير، تشبه قطعة من الورق منحنية – هناك اتجاهان مستقلان يمكننا الانتقال فيهما في أي نقطة.
- ستجد أن سطح الأرض ذو أبعاد متعددة وثنائية الأبعاد.
- بنفس الطريقة، يبدو الفضاء ذو الأبعاد n المتعددة محليا كفضاء عادي ذو أبعاد n.
- هذا قد لا يتفق مطلقا مع فكرة “الفضاء المادي”.
- على سبيل المثال، يتم وصف بيانات موضع وسرعة جسيمات N في الغرفة باستخدام متغيرات مستقلة 6N، حيث يلزم وصف موقع الجسيم بثلاثة أرقام ووصف سرعته بثلاثة أرقام أخرى.
- ثم، يكون لهذا النظام مساحة تكوين متعددة الأبعاد 6N.
- إذا لم تكن حركة هذه الجسيمات مستقلة لسبب ما، ولكنها مقيدة بطريقة ما، فسوف تكون مساحة التكوين متشعبة ذات أبعاد أصغر.
كما يمكنك التعرف على: نشأة الهندسة التحليلية وعلاقتها بفروع الرياضيات المختلفة
أشهر الأشكال الهندسية
1_ الهرم
يمكن تعريف الهرم على أنه هيكل ثلاثي الأبعاد يتميز بقاعدته المستوية وجوانبه المستقيمة والمتعددة الأضلاع.
بالإضافة إلى ثلاثة أو أكثر من الأضلاع المتلاصقة في شكل مثلث يجتمعون في نقطة واحدة فوق القاعدة، وتسمى هذه النقطة القمة، ولا يتواجد بها أي منحنيات. وهناك أنواع مختلفة من الأهرامات
- الهرم الأيمن: قمة هذا النوع من الهرم تكون محاذية لمركز القاعدة بالكامل.
- والهرم المائل: لا يكون قمة هذا النوع من الهرم بالكامل فوق مركز القاعدة، بل تكون مائلة قليلا عنه، والأوجه الجانبية المثلثة غير متساوية.
- بالإضافة إلى الهرم الثلاثي: لهذا النوع من الهرم قاعدة بشكل مثلث.
- هرم مربع: هذا النوع من الهرم له قاعدة مربعة.
- هرم خماسي: لهذا النوع من الهرم قاعدة خماسية الشكل.
- الهرم المنتظم: هرم قاعدته مضلع منتظم.
- الهرم غير المنتظم: هو هرم قاعدته مضلع غير منتظم.
يمكن تعريف الحجم على أنه المساحة التي يحتلها الشكل الهرمي ويتم قياسه بوحدات مكعبة، ويتبع قانون الحجم للهرم التالي
حجم الهرم يساوي ⅓ من مساحة القاعدة ضربها في الارتفاع.
يمكن تعريف مساحة سطح الهرم على أنها المساحة الإجمالية لجميع الأسطح، ويكون قانون مساحة سطح الهرم كما يلي:
مساحة سطح الهرم = مساحة القاعدة + ½ × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي أو طول المائل.
2_ الأسطوانة
- يمكن تعريف الأسطوانة أ بأنها جسم ثلاثي الأبعاد يتكون من دائرتين متطابقتين متصلتين بخط منحن.
- في حين أن القاعدتين مسطحتين ومتطابقتين ومتوازيتين ودائرتين في الشكل أو البيضوي، لحساب حجم الأسطوانة:
حجم الأسطوانة يحسب بضرب مساحة القاعدة في الارتفاع، ويكون مساحة القاعدة مضروبة في نصف مربع قطر القاعدة، والارتفاع يمثله `ع`
- حيث أن: نق: نصف قطر القاعدة الدائريّة.
- ع: ارتفاع الأسطوانة.
عند انتشار الأسطوانة، يمكن ملاحظة أن شبكتها تتألف من دائرتين ومستطيل، وبالتالي عند حساب مساحة سطحها، يجب إجمالي مساحات السطح على النحو التالي:
مساحة الأسطوانة = 2 × مساحة القاعدة الدائرية + مساحة الجانب (المستطيل) = 2 × (π × نق²) + 2 × π × نق × ع؛ حيث نق يمثل نصف قطر القاعدة الدائرية وع يمثل ارتفاع الأسطوانة.
3_المخروط
يمكن تعريف المخروط A بأنه شكل هندسي مميز يتألف من سطح مستو يعرف بالقاعدة، وسطح منحن يتجه نحو الأعلى أو القمة، وهي الجزء العلوي المدبب للمخروط. وهناك ثلاث خصائص رئيسية للمخروط، وهي كالتالي:
- لها وجه مستدير.
- كما أن ليس له حواف.
- بالإضافة إلى أن له زاوية واحدة.
إذا كانت القمة تقع مباشرة فوق مركز الدائرة ومحاذاة معها، يطلق على المخروط الدائري الأيمن وإذا كان الجزء العلوي مائلا من مركز الدائرة دون المحاذاة، يطلق على المخروط المائل.
ومن بين القوانين المتعلقة بالمخروط ما يلي:
- المساحة الإجمالية لسطح المخروط = π × نصف قطر قاعدة المخروط × طول المحيط المائل = π × نق × ل.
- وكذلك حجم المخروط = ⅓ × π × مربع نصف قطر قاعدة المخروط × الارتفاع = ⅓ × π × نق² × ع.
- مساحة القاعدة = π × مربع نصف قطر القاعدة للمخروط = π × نق²
حيث إن: نق: نصف قطر القاعدة الدائرية. ل: الارتفاع الجانبي للمخروط، أو طول المائل؛ حيث: ل²= نق²+ع². ع: ارتفاع المخروط.
اقرأ من هنا عن: مقدمة عن الهندسة
4 _المكعب
هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، له 6 وجوه مربعة، 8 زوايا، و 12 حافة.
وله العديد من الخصائص، من بينها ما يلي:
- جميع زوايا المكعب صحيحة.
- ارتفاع المكعب هو نفس عرضه وطوله.
- جميع وجوه المكعب لديها أشكال مربعة وأبعاد متساوية.
- الضلعان المتقابلان متوازيان.
نظرا لأن جميع أضلاع المكعب مربعات متساوية، إذا كانت طول أحد الأضلاع = x، سيكون حجم المكعب على النحو التالي:
- حجم المكعّب= مكعب طول الضلع = س³.
- مساحة سطح المكعب = 6 × مربع طول الضلع = 6 × س².
5_ متوازي المستطيلات
يمكن تعريف متوازي السطوح على أنه
- شكل ثلاثي الأبعاد.
- يحتوي على 6 أوجه على شكل مستطيلات تسمى الوجوه.
- و 8 رؤوس.
- و 12 حرفًا أو جانبًا.
- وجميع الزوايا في خط متوازي الأسطح هي زوايا قائمة.
بالإضافة إلى ذلك، جميع الوجوه المقابلة في المستطيل متساوية بغض النظر عن اختلاف الطول والعرض والارتفاع، ولحساب حجم المستطيل، يمكن استخدام الصيغة التالية:
- حجم متوازي المستطيلات= الطول× العرض× الارتفاع ، وبالرموز: حجم المستطيل المتوازي = العرض × الطول × الارتفاع؛ حيث يمثل س العرض ول الطول وع الارتفاع في المستطيل المتوازي.
- مساحة المتوازي المستطيلات الكلية = 2 × (الطول × العرض) + 2 × (الطول × الارتفاع) + 2 × (العرض × الارتفاع) = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع).
الأشكال الهندسية المستوية
1 _المُربّع
المربع هو نوع خاص من المستطيل، حيث يشتركان في قائمة من الخصائص، وتكون جميع زواياه متساوية.
يممكن القول إنّ
- المُربّع هو شكل رباعيّ الأضلاع.
- يتشكل عن طريق رسم 4 خطوط متساوية في الطول.
- لتلتقي مع بعضها وتكوّن زوايا قائمة.
والاختلاف بينه وبين المستطيل هو أن طول ضلعين في المستطيل يكون أطول من طول الضلعين الآخرين، وللمربع جذر ما يلي:
- تتساوى جميع أضلاعه.
- وتتساوى جميع زواياه.
- الأضلاع المُتقابلة متوازية.
- أقطاره متطابقة.
- تتعامد أقطاره.
طول قطر المُربّع = 2√ × طول ضلع المربع.
مساحة المُربّع = طول ضلع المربع².
محيط المربع يعادل ضعف طول ضلع المربع. المربع مساحته.
2_ المُستطيل
- المستطيل هو شكل هندسي يتكون من أربعة أضلاع وأربعة زوايا قائمة، وتكون أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية الطول.
- أقطاره متطابق وتسهيلات سهلة الاستخدام.
- تتشكل الزوايا المتقابلة عند نقطة انقطاع الأقطار.
- يعتبر المستطيل نوعا من أنواع المضلعات المتوازية، حيث تكون جميع زواياه قائمة داخله.
بعض القوانين الخاصة بالمستطيل:
- قطر المستطيل = جذر (الطول² + العرض²).
- مساحة المُستطيل = الطول × العرض.
- محيط المُستطيل = 2 × (الطول + العرض).
كما أدعوك للتعرف على: انواع الهندسة ومجالاتها
خاتمة بحث عن الهندسة في الرياضيات
تم تقديم نبذة عن البحث في مجال الهندسة في الرياضيات، حيث يمكن للقراء أن يتعرفوا على مجموعة من الأشكال الهندسية ومفهوم الهندسة.
